等差数列の和の公式を書いてください。
$$
S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n
$$
等差数列の初項を $a_1$、末項（第 $n$ 項）を $a_n$、公差を $d$ とします。
この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次のように表されます。
$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $$
各項を初項 $a_1$ と公差 $d$ を用いて書き換えると、以下のようになります。
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + \dots + \{a_1 + (n-1)d\} \quad \dots \text{①} $$
また、末項 $a_n$ から逆にたどって記述すると、以下のようになります。
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \dots + \{a_n - (n-1)d\} \quad \dots \text{②} $$
式①と式②を縦に並べて足し合わせます。
$$ \begin{aligned} S_n &= a_1 &+& (a_1 + d) &+& \dots &+& a_n \\ +) \quad S_n &= a_n &+& (a_n - d) &+& \dots &+& a_1 \\ \hline 2S_n &= (a_1 + a_n) &+& (a_1 + a_n) &+& \dots &+& (a_1 + a_n) \end{aligned} $$
ここで、右辺には $(a_1 + a_n)$ という項が全部で $n$ 個並んでいます。したがって、次の方程式が得られます。
$$ 2S_n = n(a_1 + a_n) $$
両辺を $2$ で割ることで、等差数列の和の公式が導かれます。
$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$
また、$a_n = a_1 + (n-1)d$ であることを代入すると、公差 $d$ を含んだ別の形も導出できます。
$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{n\{a_1 + a_1 + (n-1)d\}}{2} \\ &= \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2} \end{aligned} $$
等差数列の和の公式は以下の通りです。
$$ \boxed{S_n = \frac{1}{2}n(a_1 + a_n) = \frac{1}{2}n\{2a_1 + (n-1)d\}} $$
等比数列の和の公式を書いてください。
$$
S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \dots + a_1r^{n-1} \quad \dots \text{①}
$$
等比数列の初項を $a_1$、公比を $r$、項数を $n$ とします。
この数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次のように表されます。
$$ S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + \dots + a_1r^{n-1} \quad \dots \text{①} $$
式①の両辺に公比 $r$ を掛けると、以下のようになります。
$$ rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + \dots + a_1r^n \quad \dots \text{②} $$
式①から式②を引きます。項をずらして並べると、途中の項がすべて打ち消し合うことがわかります。
$$ \begin{aligned} S_n &= a_1 &+ a_1r &+ a_1r^2 + \dots + a_1r^{n-1} \\ -) \quad rS_n &= & a_1r &+ a_1r^2 + \dots + a_1r^{n-1} &+ a_1r^n \\ \hline (1-r)S_n &= a_1 & & & &- a_1r^n \end{aligned} $$
これより、次の等式が得られます。
$$ (1-r)S_n = a_1(1-r^n) $$
ここで、公比 $r$ の値によって場合分けを行います。
両辺を $(1-r)$ で割ることができ、公式が導かれます。
$$ S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} $$
数列のすべての項が初項 $a_1$ と同じ値になります。
$$ \begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1 + \dots + a_1 \\ &= n a_1 \end{aligned} $$
等比数列の和の公式は以下の通りです。
$$ \boxed{ \begin{aligned} &r \neq 1 \text{ のとき} \quad S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} \\ &r = 1 \text{ のとき} \quad S_n = n a_1 \end{aligned} } $$
平方和（2乗の和）の公式を書いてください。
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 $$
自然数 $n$ までの平方和 $S_n$ は次のように表されます。
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 $$
この公式を導くために、次の3次式の恒等式を利用します。
$$ (k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1 $$
この式に $k = 1, 2, 3, \dots, n$ を代入し、すべての辺を足し合わせます。
$$ \begin{aligned} (2^3 - 1^3) &= 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 1 \\ (3^3 - 2^3) &= 3 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 1 \\ (4^3 - 3^3) &= 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 1 \\ &\vdots \\ +) \quad \{(n+1)^3 - n^3\} &= 3 \cdot n^2 + 3 \cdot n + 1 \\ \hline (n+1)^3 - 1^3 &= 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \end{aligned} $$
左辺は隣り合う項が打ち消し合い、最初と最後だけが残ります。右辺の各項を整理すると次のようになります。
これらを代入すると、以下の式が得られます。
$$ (n+1)^3 - 1 = 3S_n + \frac{3}{2}n(n+1) + n $$
$3S_n$ を孤立させて整理します。
$$ \begin{aligned} 3S_n &= (n+1)^3 - (n+1) - \frac{3}{2}n(n+1) \\ &= (n+1) \{ (n+1)^2 - 1 - \frac{3}{2}n \} \\ &= (n+1) ( n^2 + 2n + 1 - 1 - \frac{3}{2}n ) \\ &= (n+1) ( n^2 + \frac{1}{2}n ) \\ &= \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) \end{aligned} $$
最後に両辺を $3$ で割ります。
自然数の平方和の公式は以下の通りです。
$$ \boxed{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)} $$