数学公式集　三角関数

正弦定理

正弦定理を書きましょう。

正弦定理

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

正弦定理の証明

1. 辺 $a$ と 辺 $b$ の関係（図1より）

図1
図1


図1のように、頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線 $CD$ を下ろし、その長さを $d$ とします。

①、②より $d$ は共通なので、
$$b \sin A = a \sin B$$
両辺を $\sin A \sin B$ で割ると：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \quad \dots (\text{A})$$

2. 辺 $a$ と 辺 $c$ の関係（図2より）

図2
図2


同様に、図2のように頂点 $B$ から辺 $AC$ に垂線 $BE$ を下ろし、その長さを $e$ とします。

③、④より $e$ は共通なので、
$$c \sin A = a \sin C$$
両辺を $\sin A \sin C$ で割ると：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \quad \dots (\text{B})$$

結論

(A) と (B) より、以下の正弦定理が導かれます。

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

3. 円周角の性質と直角三角形の作成

図3
図3

図3のように、点 $A$ を円周上で移動させ、線分 $A'B$ が外接円の直径となるような点 $A'$ をとります。このとき、以下の性質が成り立ちます。

4. 直角三角形 $A'BC$ に着目

直角三角形 $A'BC$ において、辺 $BC$ の長さは $a$、斜辺 $A'B$ の長さは $2R$ です。
三角比の定義より：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$2

①より $\angle A = \angle A'$ なので：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$3

この式を変形すると：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$4

結論

同様の手順を他の頂点でも行うことで、以下の関係が示されます。

$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$5

余弦定理

余弦定理を書きましょう。

余弦定理

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

余弦定理の証明

三角形の各頂点から垂線を下ろすことで、直角三角形の性質（三角比と三平方の定理）を用いて余弦定理を導くことができます。

1. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ の証明

図1のように、頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線 $CD$ を下ろしたモデルで考えます。

図1
図1


① 各辺の長さを三角比で表す

左側の直角三角形 $\triangle ADC$ に着目すると：
* $CD = b \sin A$
* $AD = b \cos A$

ここから、辺 $AB$（長さ $c$）の残りの部分である線分 $BD$ は以下のように表せます。
* $BD = c - b \cos A$

② 三平方の定理の適用

右側の直角三角形 $\triangle BDC$（図の緑色部分）に対して、三平方の定理 $a^2 = BD^2 + CD^2$ を適用します。

$$ \begin{aligned} a^2 &= (c - b \cos A)^2 + (b \sin A)^2 \\ &= c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A + b^2 \sin^2 A \\ &= b^2 (\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc \cos A \end{aligned} $$

③ 結論

三角関数の基本公式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を代入すると、余弦定理が導かれます。

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$

2. 他の辺・角に関する証明

同様の手順で、垂線を下ろす頂点を変えることにより、他の形式の余弦定理も証明可能です。

角 $C$ に注目する場合

図2
図2


頂点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AE$ を下ろし、$\triangle AEC$ を利用します。
* 導出される式: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

角 $B$ に注目する場合

図3
図3


頂点 $B$ から辺 $AC$ に垂線 $BF$ を下ろし、$\triangle AFB$ を利用します。
* 導出される式: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$

まとめ

どの頂点から垂線を下ろしても、以下のプロセスは共通です。
1. 垂線によって2つの直角三角形を作る
2. 一方の三角形から「高さ」と「底辺の分割分」を三角比で出す
3. もう一方の三角形に三平方の定理を適用する

加法定理

加法定理を書きましょう。

加法定理

三角関数の加法定理

1. 正弦（sin）

$$ \begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{aligned} $$

2. 余弦（cos）

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned} $$

3. 正接（tan）

$$ \begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \end{aligned} $$

加法定理の証明と展開

図1
図1


単位円上の2点間の距離を用いた $\cos(\alpha - \beta)$ の導出を起点とし、その他の加法定理の諸公式を導く。

1. 基本公式 $\cos(\alpha - \beta)$ の証明

図のように、単位円上に2点 $P(\cos \beta, \sin \beta)$ および $Q(\cos \alpha, \sin \alpha)$ をとる。

A. 座標による距離の計算

2点 $P, Q$ 間の距離の2乗 $PQ^2$ は、座標平面上の距離の公式より：

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2 \\ &= (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta) \\ &= (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\ &= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \quad \cdots (1) \end{aligned} $$

B. 余弦定理による距離の計算

$\triangle OPQ$ において、$OP=1, OQ=1, \angle POQ = \alpha - \beta$ である。
余弦定理を適用すると：

$$ \begin{aligned} PQ^2 &= OP^2 + OQ^2 - 2 \cdot OP \cdot OQ \cdot \cos(\alpha - \beta) \\ &= 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta) \\ &= 2 - 2 \cos(\alpha - \beta) \quad \cdots (2) \end{aligned} $$

C. 結論

(1) と (2) の右辺は等しいため：
$$2 - 2 \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$$

これを整理して、次の公式を得る。
$$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$$

2. 他の加法定理の導出

2.1 $\cos(\alpha + \beta)$ の導出

$\cos(\alpha - \beta)$ の公式において $\beta$ を $-\beta$ に置き換える。
$\cos(-\beta) = \cos \beta, \sin(-\beta) = -\sin \beta$ より：

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos(\alpha - (-\beta)) \\ &= \cos \alpha \cos(-\beta) + \sin \alpha \sin(-\beta) \\ &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{aligned} $$

2.2 $\sin(\alpha + \beta)$ の導出

余角の公式 $\sin \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ を利用する。

$$ \begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \cos\left\{ \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) \right\} \\ &= \cos\left\{ \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) - \beta \right\} \\ &= \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cos \beta + \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \sin \beta \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{aligned} $$

2.3 $\sin(\alpha - \beta)$ の導出

$\sin(\alpha + \beta)$ の公式において $\beta$ を $-\beta$ に置き換える。

$$ \begin{aligned} \sin(\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos(-\beta) + \cos \alpha \sin(-\beta) \\ &= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{aligned} $$

2.4 $\tan(\alpha \pm \beta)$ の導出

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より導出する。

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned} $$0

分母・分子を $\cos \alpha \cos \beta$ で割ると：

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned} $$1

同様に、$\beta$ を $-\beta$ に置き換えることで以下を得る。

$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{aligned} $$2

2倍角の公式

2倍角の公式を書きましょう。

2倍角の公式

$$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$

$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\ &= 1 - 2 \sin^2 \alpha \\ &= 2 \cos^2 \alpha - 1 \end{aligned} $$

$$ \tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} $$

1. 2倍角の公式の導出

2倍角の公式は、加法定理において $\beta = \alpha$ と置くことで、すべて導き出すことができる。

1.1 $\sin 2\alpha$ の公式

$\sin$ の加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ において、$\beta = \alpha$ とすると：

$$ \begin{aligned} \sin(2\alpha) &= \sin(\alpha + \alpha) \\ &= \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{aligned} $$

1.2 $\cos 2\alpha$ の公式

$\cos$ の加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ において、$\beta = \alpha$ とすると：

$$ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &= \cos(\alpha + \alpha) \\ &= \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \quad \cdots (1) \end{aligned} $$

さらに、三角関数の基本性質 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を用いて変形すると、用途に合わせて以下の2つの形も得られる。

① $\sin$ だけの式にする場合 ($\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ を代入)
$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &= (1 - \sin^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \\ &= 1 - 2 \sin^2 \alpha \end{aligned} $$

② $\cos$ だけの式にする場合 ($\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ を代入)
$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) \\ &= 2 \cos^2 \alpha - 1 \end{aligned} $$

1.3 $\tan 2\alpha$ の公式

$\tan$ の加法定理 $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ において、$\beta = \alpha$ とすると：

$$ \begin{aligned} \tan(2\alpha) &= \tan(\alpha + \alpha) \\ &= \frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \alpha} \\ &= \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \end{aligned} $$

2倍角の公式 まとめ

関数 展開式
$\sin 2\alpha$ $2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha$ $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$
$= 1 - 2 \sin^2 \alpha$
$= 2 \cos^2 \alpha - 1$
$\tan 2\alpha$ $\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

半角の公式

半角の公式を書きましょう。

半角の公式

$$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$$
$$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$$
$$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$$

半角の公式の導出

半角の公式は、余弦（$\cos$）の二倍角の公式を元にして導かれます。

1. $\sin$ の半角公式

$\cos$ の二倍角の公式のうち、$\sin$ を含むものを使います。
$$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$$

  1. この式を $\sin^2 \alpha$ について解きます。
    $$2\sin^2 \alpha = 1 - \cos 2\alpha$$
    $$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$$

  2. $\alpha = \frac{\theta}{2}$ と置くと、$2\alpha = \theta$ となるので、これらを代入します。
    $$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$$

2. $\cos$ の半角公式

$\cos$ の二倍角の公式のうち、$\cos$ だけを含むものを使います。
$$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$$

  1. この式を $\cos^2 \alpha$ について解きます。
    $$2\cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$$
    $$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$$

  2. 同様に $\alpha = \frac{\theta}{2}$ と置くと、$2\alpha = \theta$ となるので、代入します。
    $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$$0

3. $\tan$ の半角公式

$\tan$ の定義である $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ を利用します。

  1. 2乗の形で考えます。
    $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$$1

  2. 上記で導出した $\sin^2 \frac{\theta}{2}$ と $\cos^2 \frac{\theta}{2}$ をそれぞれ代入します。
    $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$$2

  3. 分母と分子に 2 を掛けて整理します。
    $$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$$3

三倍角の公式

三倍角の公式を書きましょう。

三倍角の公式

$$\mathbf{\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta}$$
$$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$
$$\mathbf{\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta}}$$

三倍角の公式の導出

三倍角の公式は、角度を $3\theta = 2\theta + \theta$ と分解し、加法定理を適用することで導出できます。

1. $\sin 3\theta$ の導出

加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ を利用します。

  1. 加法定理で展開する
    $$\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta) = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta$$

  2. 二倍角の公式を代入する
    （$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$, $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を使用）
    $$\sin 3\theta = (2\sin \theta \cos \theta) \cos \theta + (1 - 2\sin^2 \theta) \sin \theta$$
    $$\sin 3\theta = 2\sin \theta \cos^2 \theta + \sin \theta - 2\sin^3 \theta$$

  3. すべて $\sin$ に統一する
    （$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を代入）
    $$\sin 3\theta = 2\sin \theta (1 - \sin^2 \theta) + \sin \theta - 2\sin^3 \theta$$
    $$\sin 3\theta = 2\sin \theta - 2\sin^3 \theta + \sin \theta - 2\sin^3 \theta$$

  4. 整理して完成
    $$\mathbf{\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta}$$

2. $\cos 3\theta$ の導出

加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ を利用します。

  1. 加法定理で展開する
    $$\cos 3\theta = \cos(2\theta + \theta) = \cos 2\theta \cos \theta - \sin 2\theta \sin \theta$$

  2. 二倍角の公式を代入する
    （$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$, $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ を使用）
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$0
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$1

  3. すべて $\cos$ に統一する
    （$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ を代入）
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$2
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$3

  4. 整理して完成
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$4

3. $\tan 3\theta$ の導出

加法定理 $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ を利用します。

  1. 加法定理で展開する
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$5

  2. 二倍角の公式 $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ を代入する
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$6

  3. 分母・分子に $(1 - \tan^2 \theta)$ を掛けて整理する
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$7
    $$\mathbf{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta}$$8

和積の公式

和積の公式を書きましょう。

和積の公式

$$\mathbf{\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}$$
$$\mathbf{\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}$$
$$\mathbf{\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}$$
$$\mathbf{\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}$$

和積の公式の証明

和積の公式は、加法定理をベースに、変数を置換することで導き出されます。

1. 準備：加法定理と変数の置き換え

まず、加法定理の基本式を4つ用意します。

ここで、角度の変数を以下のように置きます。
- $\alpha + \beta = A$
- $\alpha - \beta = B$

この連立方程式を $\alpha, \beta$ について解くと：
- $\alpha = \frac{A+B}{2}$
- $\beta = \frac{A-B}{2}$

2. 各公式の証明

① $\sin A + \sin B$ の証明

式①と式②を足し合わせます。
$$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta$$
ここに $A, B$ の置き換えを代入すると：
$$\mathbf{\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}$$

② $\sin A - \sin B$ の証明

式①から式②を引きます。
$$\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta$$
代入して整理すると：
$$\mathbf{\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}$$

③ $\cos A + \cos B$ の証明

式③と式④を足し合わせます。
$$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \cos \beta$$
代入して整理すると：
$$\mathbf{\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}$$

④ $\cos A - \cos B$ の証明

式③から式④を引きます。ここだけ符合に注意が必要です。
$$\mathbf{\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}$$0
代入して整理すると：
$$\mathbf{\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}}$$1

積和の公式

積和の公式を書きましょう。

積和の公式

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) + \sin(A - B) \}$$
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \}$$
$$\cos A \cos B = \frac{1}{2} \{ \cos(A + B) + \cos(A - B) \}$$
$$\sin A \sin B = \frac{1}{2} \{ \cos(A - B) - \cos(A + B) \}$$

積和の公式の導出

1. 基本となる加法定理

まず、加法定理の4つの式を前提とします。

$$ \begin{aligned} \sin(A + B) &= \sin A \cos B + \cos A \sin B \quad \cdots (1) \\ \sin(A - B) &= \sin A \cos B - \cos A \sin B \quad \cdots (2) \\ \cos(A + B) &= \cos A \cos B - \sin A \sin B \quad \cdots (3) \\ \cos(A - B) &= \cos A \cos B + \sin A \sin B \quad \cdots (4) \end{aligned} $$

2. 各公式の導出プロセス

① $\sin A \cos B$ の導出

式 $(1) + (2)$ より：
$$\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2 \sin A \cos B$$
両辺を $2$ で割ると：
$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) + \sin(A - B) \}$$

② $\cos A \sin B$ の導出

式 $(1) - (2)$ より：
$$\sin(A + B) - \sin(A - B) = 2 \cos A \sin B$$
両辺を $2$ で割ると：
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \}$$

③ $\cos A \cos B$ の導出

式 $(3) + (4)$ より：
$$\cos(A + B) + \cos(A - B) = 2 \cos A \cos B$$
両辺を $2$ で割ると：
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \}$$0

④ $\sin A \sin B$ の導出

式 $(4) - (3)$ より：
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \}$$1
両辺を $2$ で割ると：
$$\cos A \sin B = \frac{1}{2} \{ \sin(A + B) - \sin(A - B) \}$$2

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