数学公式集 三角関数
正弦定理
余弦定理を書きましょう。
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
正弦定理の証明
1. 辺 $a$ と 辺 $b$ の関係（図1より）
図1
図1のように、頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線 $CD$ を下ろし、その長さを $d$ とします。
- 直角三角形 $ADC$ において：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$ - 直角三角形 $BDC$ において：
$$\sin B = \frac{d}{a} \quad \text{より} \quad d = a \sin B \quad \dots ②$$
①、②より $d$ は共通なので、
$$b \sin A = a \sin B$$
両辺を $\sin A \sin B$ で割ると：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \quad \dots (\text{A})$$
2. 辺 $a$ と 辺 $c$ の関係（図2より）
図2
同様に、図2のように頂点 $B$ から辺 $AC$ に垂線 $BE$ を下ろし、その長さを $e$ とします。
- 直角三角形 $AEB$ において：
$$\sin A = \frac{e}{c} \quad \text{より} \quad e = c \sin A \quad \dots ③$$ - 直角三角形 $CEB$ において：
$$\sin C = \frac{e}{a} \quad \text{より} \quad e = a \sin C \quad \dots ④$$
③、④より $e$ は共通なので、
$$c \sin A = a \sin C$$
両辺を $\sin A \sin C$ で割ると：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \quad \dots (\text{B})$$
結論
(A) と (B) より、以下の正弦定理が導かれます。
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
3. 円周角の性質と直角三角形の作成
図3
図3のように、点 $A$ を円周上で移動させ、線分 $A'B$ が外接円の直径となるような点 $A'$ をとります。このとき、以下の性質が成り立ちます。
- 円周角の定理：
同じ弧 $BC$ に対する円周角は等しいため、
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$0 - 半円の弧に対する円周角：
線分 $A'B$ は直径（長さ $2R$）であるため、直径に対する円周角 $\angle A'CB$ は直角になります。
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$1
4. 直角三角形 $A'BC$ に着目
直角三角形 $A'BC$ において、辺 $BC$ の長さは $a$、斜辺 $A'B$ の長さは $2R$ です。
三角比の定義より：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$2
①より $\angle A = \angle A'$ なので：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$3
この式を変形すると：
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$4
結論
同様の手順を他の頂点でも行うことで、以下の関係が示されます。
$$\sin A = \frac{d}{b} \quad \text{より} \quad d = b \sin A \quad \dots ①$$5
余弦定理
余弦定理を書きましょう。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
余弦定理の証明
三角形の各頂点から垂線を下ろすことで、直角三角形の性質（三角比と三平方の定理）を用いて余弦定理を導くことができます。
1. $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ の証明
図1のように、頂点 $C$ から辺 $AB$ に垂線 $CD$ を下ろしたモデルで考えます。
図1
① 各辺の長さを三角比で表す
左側の直角三角形 $\triangle ADC$ に着目すると：
* $CD = b \sin A$
* $AD = b \cos A$
ここから、辺 $AB$（長さ $c$）の残りの部分である線分 $BD$ は以下のように表せます。
* $BD = c - b \cos A$
② 三平方の定理の適用
右側の直角三角形 $\triangle BDC$（図の緑色部分）に対して、三平方の定理 $a^2 = BD^2 + CD^2$ を適用します。
$$ \begin{aligned} a^2 &= (c - b \cos A)^2 + (b \sin A)^2 \\ &= c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A + b^2 \sin^2 A \\ &= b^2 (\cos^2 A + \sin^2 A) + c^2 - 2bc \cos A \end{aligned} $$
③ 結論
三角関数の基本公式 $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ を代入すると、余弦定理が導かれます。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
2. 他の辺・角に関する証明
同様の手順で、垂線を下ろす頂点を変えることにより、他の形式の余弦定理も証明可能です。
角 $C$ に注目する場合
図2
頂点 $A$ から辺 $BC$ に垂線 $AE$ を下ろし、$\triangle AEC$ を利用します。
* 導出される式: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
角 $B$ に注目する場合
図3
頂点 $B$ から辺 $AC$ に垂線 $BF$ を下ろし、$\triangle AFB$ を利用します。
* 導出される式: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
まとめ
どの頂点から垂線を下ろしても、以下のプロセスは共通です。
1. 垂線によって2つの直角三角形を作る
2. 一方の三角形から「高さ」と「底辺の分割分」を三角比で出す
3. もう一方の三角形に三平方の定理を適用する