次の不定積分を求めよ.
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{1}{\sin x} dx$$
倍角の公式 $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を利用すると、次のように変形できる。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin x} dx &= \int \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx \\ &= \int \frac{1}{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} \cos^2 \frac{x}{2}} dx \\ &= \int \frac{1}{2 \tan \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} dx \end{aligned}$$
ここで、$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、
$$dt = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$$
であるから、これらを代入すると次のようになる。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{t} dt &= \ln |t| + C \\ &= \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C \end{aligned}$$
ただし、$C$ は積分定数とする。
$$\boxed{\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \sin^{-1} x dx$$
部分積分法を用いて計算する。
$$\begin{aligned} \int \sin^{-1} x dx &= \int (x)' \sin^{-1} x dx \\ &= x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx \end{aligned}$$
後半の積分について、$u = 1 - x^2$ とおくと、$du = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} du$ となる。
$$\begin{aligned} -\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx &= -\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) du \\ &= \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{1 - x^2} + C \end{aligned}$$
したがって、求める積分は次のようになる。
$$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$$
ただし、$C$ は積分定数とする。
$$\boxed{\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \sqrt{a^2 - x^2} dx$$
$x = a \sin \theta$ （ただし $a > 0, -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$）とおくと、
$$dx = a \cos \theta d\theta$$
であり、$\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos \theta$ となる。これを積分に代入する。
$$\begin{aligned} \int \sqrt{a^2 - x^2} dx &= \int a \cos \theta \cdot a \cos \theta d\theta \\ &= a^2 \int \cos^2 \theta d\theta \\ &= a^2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \left( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) + C \\ &= \frac{a^2}{2} (\theta + \sin \theta \cos \theta) + C \end{aligned}$$
ここで、$\sin \theta = \frac{x}{a}$ より $\theta = \sin^{-1} \frac{x}{a}$ である。また、
$$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \left( \frac{x}{a} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$$
であるから、これらを代入すると次のようになる。
$$\begin{aligned} \frac{a^2}{2} \left( \sin^{-1} \frac{x}{a} + \frac{x}{a} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a} \right) + C &= \frac{1}{2} \left( a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} + x \sqrt{a^2 - x^2} \right) + C \end{aligned}$$
ただし、$C$ は積分定数とする。
$$\boxed{\int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2} \left( x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a} \right) + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int (ax + b)^2 dx$$
$ax + b = u$ とおくと, $a dx = du$ より
$$dx = \frac{1}{a} du$$
である. これを代入すると
$$\begin{aligned} \int (ax + b)^2 dx &= \int u^2 \cdot \frac{1}{a} du \\ &= \frac{1}{a} \int u^2 du \\ &= \frac{1}{a} \left( \frac{1}{3} u^3 \right) + C \\ &= \frac{1}{3a} (ax + b)^3 + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{3a} (ax + b)^3 + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \left( \tan \frac{\pi}{2}x + \cot \frac{\pi}{2}x \right) dx$$
被積分関数を整理する.
$$\begin{aligned} \tan \frac{\pi}{2}x + \cot \frac{\pi}{2}x &= \frac{\sin \frac{\pi}{2}x}{\cos \frac{\pi}{2}x} + \frac{\cos \frac{\pi}{2}x}{\sin \frac{\pi}{2}x} \\ &= \frac{\sin^2 \frac{\pi}{2}x + \cos^2 \frac{\pi}{2}x}{\sin \frac{\pi}{2}x \cos \frac{\pi}{2}x} \\ &= \frac{1}{\frac{1}{2} \sin \pi x} \\ &= \frac{2}{\sin \pi x} \end{aligned}$$
したがって
$$\int \frac{2}{\sin \pi x} dx$$
を計算する. ここで, $t = \tan \frac{\pi}{2}x$ と置換する方法もあるが, 公式
$$\int \frac{dx}{\sin x} = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$$
を利用すると
$$\begin{aligned} \int \frac{2}{\sin \pi x} dx &= 2 \cdot \frac{1}{\pi} \log \left| \tan \frac{\pi}{2}x \right| + C \\ &= \frac{2}{\pi} \log \left| \tan \frac{\pi}{2}x \right| + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{2}{\pi} \log \left| \tan \frac{\pi}{2}x \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx$$
基本関数の積分の公式
$$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$$
$$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$$
を用いると
$$\begin{aligned} \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx &= -\cot x + \tan x + C \end{aligned}$$
また, これを整理すると
$$\begin{aligned} \tan x - \frac{1}{\tan x} &= \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} \\ &= \frac{-\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} \\ &= -2 \cot 2x \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\tan x - \cot x + C \quad (\text{または } -2 \cot 2x + C)}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + ax}}$$
根号内を平方完成すると
$$x^2 + ax = \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2$$
である. 公式
$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + A}} = \log |x + \sqrt{x^2 + A}| + C$$
を利用すると
$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{\sqrt{\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2}} &= \log \left| x + \frac{a}{2} + \sqrt{\left( x + \frac{a}{2} \right)^2 - \left( \frac{a}{2} \right)^2} \right| + C \\ &= \log \left| x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^2 + ax} \right| + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\log \left| x + \frac{a}{2} + \sqrt{x^2 + ax} \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^x}} dx$$
$1 + e^x = t$ とおくと, $e^x dx = dt$ である. これを代入すると
$$\begin{aligned} \int \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^x}} dx &= \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt \\ &= \int t^{-\frac{1}{2}} dt \\ &= 2t^{\frac{1}{2}} + C \\ &= 2\sqrt{1 + e^x} + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{2\sqrt{1 + e^x} + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \sin^3 x dx$$
$\sin^3 x = \sin x (1 - \cos^2 x)$ と変形する.
$u = \cos x$ とおくと, $du = -\sin x dx$ より $\sin x dx = -du$ である.
$$\begin{aligned} \int \sin^3 x dx &= \int (1 - \cos^2 x) \sin x dx \\ &= \int (1 - u^2) (-du) \\ &= \int (u^2 - 1) du \\ &= \frac{1}{3} u^3 - u + C \\ &= \frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{3} \cos^3 x - \cos x + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{a^2 - x^2}}$$
$x = a \sin \theta$ とおくと, $dx = a \cos \theta d\theta$ である.
$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{a^2 - x^2}} &= \int \frac{a \cos \theta}{(a \sin \theta)^2 \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 \theta}} d\theta \\ &= \int \frac{a \cos \theta}{a^2 \sin^2 \theta \cdot a \cos \theta} d\theta \\ &= \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\sin^2 \theta} d\theta \\ &= -\frac{1}{a^2} \cot \theta + C \end{aligned}$$
ここで, $\sin \theta = \frac{x}{a}$ より
$$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{1 - (x/a)^2}}{x/a} = \frac{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}}{\frac{x}{a}} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x}$$
したがって
$$-\frac{1}{a^2} \cdot \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} + C = -\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a^2 x} + C$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{-\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a^2 x} + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{(\log x)^n}{x} dx$$
$u = \log x$ とおくと, $du = \frac{1}{x} dx$ である.
$n \neq -1$ のとき：
$$\begin{aligned} \int u^n du &= \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \\ &= \frac{(\log x)^{n+1}}{n+1} + C \end{aligned}$$
$n = -1$ のとき：
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{u} du &= \log |u| + C \\ &= \log |\log x| + C \end{aligned}$$
通常 $n$ は自然数または $-1$ でない定数として扱われることが多いが, 一般的には以下のようになる.
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\begin{cases} \frac{(\log x)^{n+1}}{n+1} + C & (n \neq -1) \\ \log |\log x| + C & (n = -1) \end{cases}}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int x^{\alpha} \log x dx \quad (\alpha \neq -1)$$
部分積分法を用いる. $u = \log x, v' = x^{\alpha}$ とおくと, $u' = \frac{1}{x}, v = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ である.
$$\begin{aligned} \int x^{\alpha} \log x dx &= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \log x - \int \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \log x - \frac{1}{\alpha+1} \int x^{\alpha} dx \\ &= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \log x - \frac{1}{\alpha+1} \left( \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) + C \\ &= \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \log x - \frac{x^{\alpha+1}}{(\alpha+1)^2} + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \left( \log x - \frac{1}{\alpha+1} \right) + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int xe^x dx$$
部分積分法を用いる. $u = x, v' = e^x$ とおくと, $u' = 1, v = e^x$ である.
$$\begin{aligned} \int xe^x dx &= xe^x - \int 1 \cdot e^x dx \\ &= xe^x - e^x + C \\ &= (x - 1) e^x + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{(x - 1) e^x + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \tan^{-1} x dx$$
部分積分法を用いる. $u = \tan^{-1} x, v' = 1$ とおくと, $u' = \frac{1}{1 + x^2}, v = x$ である.
$$\begin{aligned} \int \tan^{-1} x dx &= x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx \\ &= x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} dx \\ &= x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1 + x^2) + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1 + x^2) + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int e^x \cos x dx$$
部分積分を2回繰り返す. $I = \int e^x \cos x dx$ とおく.
$u = e^x, v' = \cos x$ とすると, $u' = e^x, v = \sin x$ より
$$I = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$$
さらに $\int e^x \sin x dx$ について, $u = e^x, v' = \sin x$ とすると, $u' = e^x, v = -\cos x$ より
$$\begin{aligned} \int e^x \sin x dx &= -e^x \cos x - \int e^x (-\cos x) dx \\ &= -e^x \cos x + I \end{aligned}$$
これを代入すると
$$\begin{aligned} I &= e^x \sin x - (-e^x \cos x + I) \\ I &= e^x \sin x + e^x \cos x - I \\ 2I &= e^x (\sin x + \cos x) \\ I &= \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int x \sqrt{x^2 + 1} dx$$
$x^2 + 1 = t$ とおくと, $2x dx = dt$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$ である.
$$\begin{aligned} \int x \sqrt{x^2 + 1} dx &= \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \int t^{\frac{1}{2}} dt \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right) + C \\ &= \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{3} (x^2 + 1) \sqrt{x^2 + 1} + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx$$
$x^4 + 1 = t$ とおくと, $4x^3 dx = dt$ より $x^3 dx = \frac{1}{4} dt$ である.
$$\begin{aligned} \int \frac{x^3}{x^4 + 1} dx &= \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{4} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{1}{t} dt \\ &= \frac{1}{4} \log |t| + C \\ &= \frac{1}{4} \log (x^4 + 1) + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{4} \log (x^4 + 1) + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int xe^{x^2} dx$$
$x^2 = t$ とおくと, $2x dx = dt$ より $x dx = \frac{1}{2} dt$ である.
$$\begin{aligned} \int xe^{x^2} dx &= \int e^t \cdot \frac{1}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} e^t + C \\ &= \frac{1}{2} e^{x^2} + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{\frac{1}{2} e^{x^2} + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{e^x + 1}$$
分子と分母に $e^{-x}$ をかける.
$$\frac{1}{e^x + 1} = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$$
$1 + e^{-x} = t$ とおくと, $-e^{-x} dx = dt$ より $e^{-x} dx = -dt$ である.
$$\begin{aligned} \int \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} dx &= \int \frac{-dt}{t} \\ &= -\log |t| + C \\ &= -\log (1 + e^{-x}) + C \end{aligned}$$
別の形として, $t = e^x$ とおくと
$$\begin{aligned} \int \frac{dt}{t(t + 1)} &= \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} \right) dt \\ &= \log |t| - \log |t + 1| + C \\ &= x - \log (e^x + 1) + C \end{aligned}$$
（$C$ は積分定数）
$$\boxed{x - \log (e^x + 1) + C \quad (\text{または } -\log(1 + e^{-x}) + C)}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{1}{3x^2 - 4}
$$
まず，分母を因数分解すると
$$
3x^2 - 4 = (\sqrt{3}x - 2)(\sqrt{3}x + 2)
$$
となる．これを用いて部分分数に分解すると
$$
\frac{1}{3x^2 - 4} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{3}x - 2} - \frac{1}{\sqrt{3}x + 2} \right)
$$
である．不定積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{3x^2 - 4} dx &= \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{\sqrt{3}x - 2} - \frac{1}{\sqrt{3}x + 2} \right) dx \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \ln|\sqrt{3}x - 2| - \ln|\sqrt{3}x + 2| \right) + C \\
&= \frac{1}{4\sqrt{3}} \ln \left| \frac{\sqrt{3}x - 2}{\sqrt{3}x + 2} \right| + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{部分分数分解：} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{3}x - 2} - \frac{1}{\sqrt{3}x + 2} \right), \text{積分結果：} \frac{1}{4\sqrt{3}} \ln \left| \frac{\sqrt{3}x - 2}{\sqrt{3}x + 2} \right| + C}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{1}{4x^2 + 4x + 8}
$$
分母を平方完成すると
$$
4x^2 + 4x + 8 = 4(x^2 + x + 2) = 4\left\{ \left( x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{4} \right\}
$$
となる．分母はこれ以上実数の範囲で因数分解できないため，そのまま積分を行う．
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{4x^2 + 4x + 8} dx &= \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x + 1/2)^2 + (\sqrt{7}/2)^2} dx \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}/2} \arctan \left( \frac{x + 1/2}{\sqrt{7}/2} \right) + C \\
&= \frac{1}{2\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{7}} \right) + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{積分結果：} \frac{1}{2\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{7}} \right) + C}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{x + 2}{x^2 - 5x + 6}
$$
分母を因数分解すると $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ である．
$$
\frac{x + 2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}
$$
とおき，両辺に $(x - 2)(x - 3)$ をかけると
$$
x + 2 = A(x - 3) + B(x - 2)
$$
$x = 2$ を代入して $4 = -A \implies A = -4$．
$x = 3$ を代入して $5 = B$．
したがって
$$
\frac{x + 2}{x^2 - 5x + 6} = \frac{5}{x - 3} - \frac{4}{x - 2}
$$
不定積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{x + 2}{x^2 - 5x + 6} dx &= \int \left( \frac{5}{x - 3} - \frac{4}{x - 2} \right) dx \\
&= 5 \ln|x - 3| - 4 \ln|x - 2| + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{部分分数分解：} \frac{5}{x - 3} - \frac{4}{x - 2}, \text{積分結果：} 5 \ln|x - 3| - 4 \ln|x - 2| + C}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{1}{x^3 + 1}
$$
分母を因数分解すると $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ である．
$$
\frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}
$$
とおき，分子を比較すると
$$
1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)
$$
$x = -1$ を代入して $1 = 3A \implies A = 1/3$．
$x^2$ の係数を比較して $A + B = 0 \implies B = -1/3$．
定数項を比較して $A + C = 1 \implies C = 2/3$．
したがって
$$
\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x + 1} - \frac{x - 2}{x^2 - x + 1} \right)
$$
不定積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{1}{x^3 + 1} dx &= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx - \frac{1}{3} \int \frac{(1/2)(2x - 1) - 3/2}{x^2 - x + 1} dx \\
&= \frac{1}{3} \ln|x + 1| - \frac{1}{6} \ln(x^2 - x + 1) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x - 1/2)^2 + 3/4} dx \\
&= \frac{1}{3} \ln|x + 1| - \frac{1}{6} \ln(x^2 - x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C \\
&= \frac{1}{6} \ln \frac{(x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} \right) + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{部分分数分解：} \frac{1}{3(x + 1)} - \frac{x - 2}{3(x^2 - x + 1)}, \text{積分結果：} \frac{1}{6} \ln \frac{(x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} + C}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{x^3 - 1}{x(x + 1)^3}
$$
部分分数分解の形を次のように置く．
$$
\frac{x^3 - 1}{x(x + 1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^2} + \frac{D}{(x + 1)^3}
$$
両辺に $x(x + 1)^3$ をかけると
$$
x^3 - 1 = A(x + 1)^3 + Bx(x + 1)^2 + Cx(x + 1) + Dx
$$
$x = 0$ を代入して $A = -1$．
$x = -1$ を代入して $-D = -2 \implies D = 2$．
$x^3$ の係数を比較して $A + B = 1 \implies B = 2$．
$x$ の係数を比較して $3A + B + C + D = 0 \implies -3 + 2 + C + 2 = 0 \implies C = -1$．
よって
$$
\frac{x^3 - 1}{x(x + 1)^3} = -\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^3}
$$
不定積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\int \frac{x^3 - 1}{x(x + 1)^3} dx &= \int \left( -\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^3} \right) dx \\
&= -\ln|x| + 2\ln|x + 1| + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} + C \\
&= \ln \frac{(x + 1)^2}{|x|} + \frac{x}{(x + 1)^2} + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{部分分数分解：} -\frac{1}{x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^3}, \text{積分結果：} \ln \frac{(x + 1)^2}{|x|} + \frac{x}{(x + 1)^2} + C}$$
次の有理関数を部分分数に分解し，不定積分を求めよ．
$$
\frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + x - 2}
$$
分子の次数が分母以上なので，整式の割り算を行う．
$$
(2x^3 + 3x^2 + 1) = (x^2 + x - 2)(2x + 1) + (3x + 3)
$$
よって
$$
\frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + x - 2} = 2x + 1 + \frac{3x + 3}{x^2 + x - 2}
$$
次に分母を因数分解して $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$ とし，部分分数分解を行う．
$$
\frac{3x + 3}{(x + 2)(x - 1)} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 1}
$$
$3x + 3 = A(x - 1) + B(x + 2)$ より，$x = 1 \implies B = 2$，$x = -2 \implies A = 1$．
したがって
$$
\frac{2x^3 + 3x^2 + 1}{x^2 + x - 2} = 2x + 1 + \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 1}
$$
不定積分を計算すると
$$
\begin{aligned}
\int \left( 2x + 1 + \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} \right) dx &= x^2 + x + \ln|x + 2| + 2\ln|x - 1| + C \\
&= x^2 + x + \ln \left| (x + 2)(x - 1)^2 \right| + C
\end{aligned}
$$
ただし $C$ は積分定数とする．
$$\boxed{\text{部分分数分解：} 2x + 1 + \frac{1}{x + 2} + \frac{2}{x - 1}, \text{積分結果：} x^2 + x + \ln |(x + 2)(x - 1)^2| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{4 - 3x - x^2}$$
与えられた式を分母の因数分解を用いて部分分数に分解する。
$$\begin{aligned} \frac{1}{4 - 3x - x^2} &= \frac{1}{(4 + x)(1 - x)} \\ &= \frac{1}{5} \left( \frac{1}{4 + x} + \frac{1}{1 - x} \right) \end{aligned}$$
これより、不定積分は次のようになる。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{4 - 3x - x^2} dx &= \frac{1}{5} \int \left( \frac{1}{4 + x} + \frac{1}{1 - x} \right) dx \\ &= \frac{1}{5} \left( \ln |4 + x| - \ln |1 - x| \right) + C \\ &= \frac{1}{5} \ln \left| \frac{4 + x}{1 - x} \right| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{5} \ln \left| \frac{x + 4}{x - 1} \right| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$$
分母を平方完成する。
$$\begin{aligned} 4x^2 + 2x + 1 &= \left( 2x + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \end{aligned}$$
$2x + \frac{1}{2} = t$ とおくと、 $2 dx = dt$ であるから
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{4x^2 + 2x + 1} dx &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{t^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} dt \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2t}{\sqrt{3}} \right) + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2(2x + 1/2)}{\sqrt{3}} \right) + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{4x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{4x + 1}{\sqrt{3}} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(3x + 7)^5}$$
$3x + 7 = u$ とおくと、 $3 dx = du$ である。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(3x + 7)^5} dx &= \frac{1}{3} \int u^{-5} du \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-4}}{-4} + C \\ &= -\frac{1}{12(3x + 7)^4} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{1}{12(3x + 7)^4} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)}$$
部分分数分解を行う。
$$\frac{1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$$
とおくと
$$1 = A(x + 1)(x^2 + 1) + B(x^2 + 1) + (Cx + D)(x + 1)^2$$
これより係数を求めると $A = 1/2, B = 1/2, C = -1/2, D = 0$ となる。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)} dx &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{x}{x^2 + 1} \right) dx \\ &= \frac{1}{2} \left( \ln |x + 1| - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{2} \ln |x + 1| - \frac{1}{4} \ln (x^2 + 1) - \frac{1}{2(x + 1)} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2}{x + 1}$$
分子を分母で割る。
$$\begin{aligned} \frac{x^2}{x + 1} &= \frac{x^2 - 1 + 1}{x + 1} \\ &= x - 1 + \frac{1}{x + 1} \end{aligned}$$
これを積分する。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^2}{x + 1} dx &= \int (x - 1) dx + \int \frac{1}{x + 1} dx \\ &= \frac{1}{2}x^2 - x + \ln |x + 1| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{2}x^2 - x + \ln |x + 1| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x}{(x + 1)^2}$$
分子を変形する。
$$\begin{aligned} \frac{x}{(x + 1)^2} &= \frac{x + 1 - 1}{(x + 1)^2} \\ &= \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} \end{aligned}$$
これを積分する。
$$\begin{aligned} \int \frac{x}{(x + 1)^2} dx &= \int \frac{1}{x + 1} dx - \int (x + 1)^{-2} dx \\ &= \ln |x + 1| + \frac{1}{x + 1} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\ln |x + 1| + \frac{1}{x + 1} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^4 + 1}{x^4 - 1}$$
分子を分母で割ると
$$\begin{aligned} \frac{x^4 + 1}{x^4 - 1} &= 1 + \frac{2}{x^4 - 1} \\ &= 1 + \frac{2}{(x^2 - 1)(x^2 + 1)} \\ &= 1 + \frac{1}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 + 1} \\ &= 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) - \frac{1}{x^2 + 1} \end{aligned}$$
これを積分する。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^4 + 1}{x^4 - 1} dx &= \int \left( 1 + \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{1}{x^2 + 1} \right) dx \\ &= x + \frac{1}{2} \ln |x - 1| - \frac{1}{2} \ln |x + 1| - \arctan x + C \end{aligned}$$
$$\boxed{x + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| - \arctan x + C}$$
$$\frac{1}{x(x^2 + 1)^2}$$
部分分数分解を行う。
$$\begin{aligned} \frac{1}{x(x^2 + 1)^2} &= \frac{(x^2 + 1) - x^2}{x(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{1}{x(x^2 + 1)} - \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{(x^2 + 1) - x^2}{x(x^2 + 1)} - \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2 + 1} - \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x(x^2 + 1)^2} dx &= \int \frac{1}{x} dx - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx \\ &= \ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \frac{1}{2(x^2 + 1)} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\ln |x| - \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + \frac{1}{2(x^2 + 1)} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1}$$
分母・分子を $x^2$ で割る。
$$\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2}$$
$x - \frac{1}{x} = u$ とおくと、 $\left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) dx = du$ である。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx &= \int \frac{1}{u^2 + (\sqrt{2})^2} du \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{u}{\sqrt{2}} \right) + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \left( \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{x^2 - 1}{\sqrt{2}x} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x - a)^m}$$
$m = 1$ の場合：
$$\int \frac{1}{x - a} dx = \ln |x - a| + C$$
$m \neq 1$ の場合：
$$\int (x - a)^{-m} dx = \frac{(x - a)^{-m+1}}{-m+1} + C = \frac{1}{(1 - m)(x - a)^{m-1}} + C$$
まとめると次の通り。
$$\boxed{\begin{cases} \ln |x - a| + C & (m = 1) \\ \frac{1}{(1 - m)(x - a)^{m-1}} + C & (m \neq 1) \end{cases}}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1 - x}{x^2 - 2x - 154}$$
分母 $x^2 - 2x - 154$ を微分すると $2x - 2 = -2(1 - x)$ である。
これを利用して積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \frac{1 - x}{x^2 - 2x - 154} dx &= -\frac{1}{2} \int \frac{2x - 2}{x^2 - 2x - 154} dx \\ &= -\frac{1}{2} \ln |x^2 - 2x - 154| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{1}{2} \ln |x^2 - 2x - 154| + C}$$
$$\frac{1 - x}{x^2 - 3x - 154}$$
分母を因数分解する。 $x^2 - 3x - 154 = (x - 14)(x + 11)$ である。
部分分数分解を行う。
$$\frac{1 - x}{(x - 14)(x + 11)} = \frac{A}{x - 14} + \frac{B}{x + 11}$$
とおくと
$$1 - x = A(x + 11) + B(x - 14)$$
$x = 14$ を代入して $A = -13/25$, $x = -11$ を代入して $B = -12/25$ を得る。
$$\begin{aligned} \int \frac{1 - x}{x^2 - 3x - 154} dx &= -\frac{13}{25} \int \frac{1}{x - 14} dx - \frac{12}{25} \int \frac{1}{x + 11} dx \\ &= -\frac{13}{25} \ln |x - 14| - \frac{12}{25} \ln |x + 11| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{1}{25} \left( 13 \ln |x - 14| + 12 \ln |x + 11| \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{2x^3 + 5x}{x^2 + 2}$$
分子を分母で割る。
$$\begin{aligned} \frac{2x^3 + 5x}{x^2 + 2} &= \frac{2x(x^2 + 2) + x}{x^2 + 2} \\ &= 2x + \frac{x}{x^2 + 2} \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \left( 2x + \frac{x}{x^2 + 2} \right) dx &= x^2 + \frac{1}{2} \ln (x^2 + 2) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{x^2 + \frac{1}{2} \ln (x^2 + 2) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2 + 3}{x^2 + 4}$$
式を変形する。
$$\begin{aligned} \frac{x^2 + 3}{x^2 + 4} &= \frac{x^2 + 4 - 1}{x^2 + 4} \\ &= 1 - \frac{1}{x^2 + 4} \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 4} \right) dx &= x - \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{x}{2} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{x - \frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x^2 + 4)(x^2 - 4)}$$
部分分数分解を行う。
$$\begin{aligned} \frac{1}{(x^2 + 4)(x^2 - 4)} &= \frac{1}{8} \left( \frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x^2 + 4} \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( \frac{1}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x^2 + 4} \right) \\ &= \frac{1}{8} \left( \frac{1}{4} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2} \right) - \frac{1}{x^2 + 4} \right) \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2 + 4)(x^2 - 4)} dx &= \frac{1}{32} \ln |x - 2| - \frac{1}{32} \ln |x + 2| - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ &= \frac{1}{32} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| - \frac{1}{16} \arctan \left( \frac{x}{2} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{32} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| - \frac{1}{16} \arctan \frac{x}{2} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2 + 9x + 12}{(x - 3)(x + 1)^2}$$
部分分数分解を行う。
$$\frac{x^2 + 9x + 12}{(x - 3)(x + 1)^2} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{(x + 1)^2}$$
とおくと
$$x^2 + 9x + 12 = A(x + 1)^2 + B(x - 3)(x + 1) + C(x - 3)$$
これより係数を求めると $A = 3, B = -2, C = -1$ となる。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^2 + 9x + 12}{(x - 3)(x + 1)^2} dx &= \int \left( \frac{3}{x - 3} - \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{(x + 1)^2} \right) dx \\ &= 3 \ln |x - 3| - 2 \ln |x + 1| + \frac{1}{x + 1} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{3 \ln |x - 3| - 2 \ln |x + 1| + \frac{1}{x + 1} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2 + x}{(x^2 + 1)^2}$$
式を変形する。
$$\begin{aligned} \frac{x^2 + x}{(x^2 + 1)^2} &= \frac{(x^2 + 1) + x - 1}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{x}{(x^2 + 1)^2} - \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned}$$
ここで $\int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} dx = \frac{1}{2} \left( \arctan x + \frac{x}{x^2 + 1} \right)$ であることを用いる。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^2 + x}{(x^2 + 1)^2} dx &= \arctan x - \frac{1}{2(x^2 + 1)} - \frac{1}{2} \left( \arctan x + \frac{x}{x^2 + 1} \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \arctan x - \frac{x + 1}{2(x^2 + 1)} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{2} \arctan x - \frac{x + 1}{2(x^2 + 1)} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x^2 + 1)^3}$$
漸化式 $I_n = \int \frac{dx}{(x^2 + 1)^n}$ において、 $I_n = \frac{1}{2n - 2} \frac{x}{(x^2 + 1)^{n-1}} + \frac{2n - 3}{2n - 2} I_{n-1}$ を用いる。
まず $I_1 = \arctan x$。
$I_2 = \frac{1}{2} \frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2} \arctan x$。
$I_3 = \frac{1}{4} \frac{x}{(x^2 + 1)^2} + \frac{3}{4} I_2$。
$$\begin{aligned} I_3 &= \frac{x}{4(x^2 + 1)^2} + \frac{3x}{8(x^2 + 1)} + \frac{3}{8} \arctan x + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{3x^3 + 5x}{8(x^2 + 1)^2} + \frac{3}{8} \arctan x + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x^2 + x + 1)^2}$$
分母を平方完成する。 $x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4$。
$x + 1/2 = u, a^2 = 3/4$ とおくと、 $\int \frac{du}{(u^2 + a^2)^2} = \frac{u}{2a^2(u^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^2} \int \frac{du}{u^2 + a^2}$ である。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2 + x + 1)^2} dx &= \frac{x + 1/2}{2(3/4)(x^2 + x + 1)} + \frac{1}{2(3/4)} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}/2} \arctan \left( \frac{x + 1/2}{\sqrt{3}/2} \right) + C \\ &= \frac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)} + \frac{4}{3\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{2x + 1}{3(x^2 + x + 1)} + \frac{4\sqrt{3}}{9} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{x^3 - 8}$$
分母を因数分解する。 $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。
部分分数分解を行う。
$$\frac{1}{x^3 - 8} = \frac{1}{12} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{x + 4}{x^2 + 2x + 4} \right)$$
これを積分する。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^3 - 8} dx &= \frac{1}{12} \ln |x - 2| - \frac{1}{12} \int \frac{\frac{1}{2}(2x + 2) + 3}{(x + 1)^2 + 3} dx \\ &= \frac{1}{12} \ln |x - 2| - \frac{1}{24} \ln (x^2 + 2x + 4) - \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x + 1)^2 + 3} dx \\ &= \frac{1}{12} \ln |x - 2| - \frac{1}{24} \ln (x^2 + 2x + 4) - \frac{1}{4\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{12} \ln |x - 2| - \frac{1}{24} \ln (x^2 + 2x + 4) - \frac{\sqrt{3}}{12} \arctan \frac{x + 1}{\sqrt{3}} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(2x^2 + 3)^2}$$
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(2x^2 + 3)^2} dx &= \frac{1}{4} \int \frac{1}{(x^2 + 3/2)^2} dx \end{aligned}$$
公式 $\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3} \arctan \frac{x}{a}$ を $a^2 = 3/2$ として適用する。
$$\begin{aligned} \frac{1}{4} \left( \frac{x}{3(x^2 + 3/2)} + \frac{1}{3\sqrt{3/2}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3/2}} \right) &= \frac{x}{6(2x^2 + 3)} + \frac{\sqrt{2}}{12\sqrt{3}} \arctan \frac{\sqrt{6}x}{3} + C \\ &= \frac{x}{6(2x^2 + 3)} + \frac{\sqrt{6}}{36} \arctan \frac{\sqrt{6}x}{3} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{x}{6(2x^2 + 3)} + \frac{\sqrt{6}}{36} \arctan \frac{\sqrt{6}x}{3} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$$
式を変形する。
$$\begin{aligned} \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} &= 1 - \frac{2x}{x^2 + x + 1} \\ &= 1 - \frac{(2x + 1) - 1}{x^2 + x + 1} \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1} dx &= x - \ln (x^2 + x + 1) + \int \frac{1}{(x + 1/2)^2 + 3/4} dx \\ &= x - \ln (x^2 + x + 1) + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{x - \ln (x^2 + x + 1) + \frac{2\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ.
$$\frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 - 2)}$$
部分分数分解を行う。
$$\begin{aligned} \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 - 2)} &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x^2 - 2} - \frac{1}{x^2 + 1} \right) \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{1}{x - \sqrt{2}} - \frac{1}{x + \sqrt{2}} \right) - \frac{1}{x^2 + 1} \right) \end{aligned}$$
積分を計算する。
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 - 2)} dx &= \frac{1}{6\sqrt{2}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right| - \frac{1}{3} \arctan x + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{6\sqrt{2}} \ln \left| \frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} \right| - \frac{1}{3} \arctan x + C}$$
次の不定積分を求めよ．
次の不定積分を求めよ．
$$\int \frac{\sqrt{x+1}}{x\sqrt{x-2}} dx$$
与えられた積分を $I$ とし，次のように変形する．
$$I = \int \sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \cdot \frac{1}{x} dx$$
ここで，$t = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ とおくと， $t^2 = \frac{x+1}{x-2}$ より
$$\begin{aligned}
t^2(x-2) &= x+1 \\
x(t^2-1) &= 2t^2+1 \\
x &= \frac{2t^2+1}{t^2-1}
\end{aligned}$$
これを $t$ で微分すると
$$dx = \frac{4t(t^2-1) - (2t^2+1)(2t)}{(t^2-1)^2} dt = \frac{-6t}{(t^2-1)^2} dt$$
これらを積分式に代入すると
$$\begin{aligned}
I &= \int t \cdot \frac{t^2-1}{2t^2+1} \cdot \frac{-6t}{(t^2-1)^2} dt \\
&= \int \frac{-6t^2}{(2t^2+1)(t^2-1)} dt
\end{aligned}$$
被積分関数を部分分数分解する．
$$\frac{-6t^2}{(2t^2+1)(t^2-1)} = \frac{A}{2t^2+1} + \frac{B}{t^2-1}$$
とおくと， $-6t^2 = A(t^2-1) + B(2t^2+1)$ より $A = -2, B = -2$ となる．
$$\begin{aligned}
I &= \int \left( \frac{-2}{2t^2+1} - \frac{2}{t^2-1} \right) dt \\
&= -2 \int \frac{1}{(\sqrt{2}t)^2+1} dt + 2 \int \frac{1}{1-t^2} dt \\
&= -\sqrt{2} \arctan(\sqrt{2}t) + \ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| + C
\end{aligned}$$
$t = \sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$ を代入して整理すると
$$\ln \left| \frac{1+t}{1-t} \right| = \ln \left| \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-2}} \right| = 2\ln(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}) - \ln 3$$
定数をまとめて整理すると，結論は次のようになる．
$$\boxed{2\ln(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}) - \sqrt{2} \arctan \sqrt{\frac{2x+2}{x-2}} + C}$$
次の不定積分を求めよ．
$$\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2-1}}$$
分母を有理化して積分を行う．
$$\begin{aligned}
\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2-1}} &= \int \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{(x+\sqrt{x^2-1})(x-\sqrt{x^2-1})} dx \\
&= \int \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x^2-(x^2-1)} dx \\
&= \int (x - \sqrt{x^2-1}) dx \\
&= \frac{1}{2}x^2 - \int \sqrt{x^2-1} dx
\end{aligned}$$
ここで， $\int \sqrt{x^2-1} dx$ について公式
$$\int \sqrt{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2-a^2} - a^2 \ln |x+\sqrt{x^2-a^2}| \right)$$
を用いると
$$\int \sqrt{x^2-1} dx = \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-1}|$$
したがって，求める積分は
$$\begin{aligned}
I &= \frac{1}{2}x^2 - \left( \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1} - \frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-1}| \right) + C \\
&= \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1} + \frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C
\end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1} + \frac{1}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-1}| + C}$$
次の不定積分を求めよ．
$$\int \frac{x}{1+\sqrt{1-3x^2}} dx$$
$u = \sqrt{1-3x^2}$ とおくと，$u^2 = 1-3x^2$ であり，両辺を $x$ で微分すると
$$2u du = -6x dx \implies x dx = -\frac{1}{3}u du$$
となる．これを積分式に代入すると
$$\begin{aligned}
\int \frac{x}{1+\sqrt{1-3x^2}} dx &= \int \frac{1}{1+u} \left( -\frac{1}{3}u \right) du \\
&= -\frac{1}{3} \int \frac{u}{1+u} du \\
&= -\frac{1}{3} \int \frac{u+1-1}{1+u} du \\
&= -\frac{1}{3} \int \left( 1 - \frac{1}{1+u} \right) du \\
&= -\frac{1}{3} (u - \ln|1+u|) + C
\end{aligned}$$
$u = \sqrt{1-3x^2}$ を元に戻すと
$$I = -\frac{1}{3}\sqrt{1-3x^2} + \frac{1}{3}\ln(1+\sqrt{1-3x^2}) + C$$
$$\boxed{-\frac{1}{3}\sqrt{1-3x^2} + \frac{1}{3}\ln(1+\sqrt{1-3x^2}) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{\sqrt{x - x^2}}$$
与えられた式を変形すると
$$x - x^2 = -\left( x^2 - x \right) = -\left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}$$
であるから，求める不定積分は
$$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left( x - \frac{1}{2} \right)^2}} dx$$
ここで，$x - \frac{1}{2} = u$ とおくと，$dx = du$ より
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}} du &= \arcsin\left( \frac{u}{1/2} \right) + C \\ &= \arcsin(2u) + C \\ &= \arcsin(2x - 1) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\arcsin(2x - 1) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{\sqrt{x^2 - x}}$$
分母の平方完成を行うと
$$x^2 - x = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}$$
である．公式 $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + A}} = \ln |x + \sqrt{x^2 + A}| + C$ を用いるため，$u = x - \frac{1}{2}$ とおくと
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}} du &= \ln \left| u + \sqrt{u^2 - \frac{1}{4}} \right| + C \\ &= \ln \left| x - \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 - x} \right| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\ln \left| x - \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 - x} \right| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$x \sqrt[4]{1 - x}$$
$1 - x = u$ とおくと，$x = 1 - u$ であり，$dx = -du$ である．
$$\begin{aligned} \int x \sqrt[4]{1 - x} dx &= \int (1 - u) u^{\frac{1}{4}} (-du) \\ &= \int \left( u^{\frac{5}{4}} - u^{\frac{1}{4}} \right) du \\ &= \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} - \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C \\ &= \frac{4}{9} (1 - x)^{\frac{9}{4}} - \frac{4}{5} (1 - x)^{\frac{5}{4}} + C \end{aligned}$$
共通因数を括り出すと
$$\begin{aligned} \frac{4}{45} (1 - x)^{\frac{5}{4}} \{ 5(1 - x) - 9 \} + C &= \frac{4}{45} (1 - x)^{\frac{5}{4}} (-5x - 4) + C \\ &= -\frac{4}{45} (5x + 4) (1 - x)^{\frac{5}{4}} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{4}{45} (5x + 4) (1 - x) \sqrt[4]{1 - x} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{1 + \sqrt{x}}$$
$\sqrt{x} = u$ とおくと，$x = u^2$ より $dx = 2u du$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{1 + u} \cdot 2u du &= 2 \int \frac{u}{u + 1} du \\ &= 2 \int \left( 1 - \frac{1}{u + 1} \right) du \\ &= 2(u - \ln |u + 1|) + C \\ &= 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$x \sqrt{x + 1}$$
$x + 1 = u$ とおくと，$x = u - 1$ であり，$dx = du$ である．
$$\begin{aligned} \int (u - 1) \sqrt{u} du &= \int \left( u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{1}{2}} \right) du \\ &= \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C \\ &= \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} (3u - 5) + C \\ &= \frac{2}{15} (x + 1)^{\frac{3}{2}} \{ 3(x + 1) - 5 \} + C \\ &= \frac{2}{15} (3x - 2) (x + 1) \sqrt{x + 1} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{2}{15} (3x - 2) (x + 1) \sqrt{x + 1} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$
$x^2 + 1 = u$ とおくと，$2x dx = du$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} du &= \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{x^2 + 1} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\sqrt{x^2 + 1} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{x}{\sqrt{1 - x}}$$
$1 - x = u$ とおくと，$x = 1 - u$ であり，$dx = -du$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{1 - u}{\sqrt{u}} (-du) &= \int \left( \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}} \right) du \\ &= \int \left( u^{\frac{1}{2}} - u^{-\frac{1}{2}} \right) du \\ &= \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} (u - 3) + C \\ &= \frac{2}{3} \sqrt{1 - x} (1 - x - 3) + C \\ &= -\frac{2}{3} (x + 2) \sqrt{1 - x} + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{2}{3} (x + 2) \sqrt{1 - x} + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$$
分母を有理化すると
$$\frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x)} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} - x}{(x^2 + 1) - x^2} = \sqrt{x^2 + 1} - x$$
よって，求める積分は
$$\int (\sqrt{x^2 + 1} - x) dx = \int \sqrt{x^2 + 1} dx - \int x dx$$
ここで，$\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2 + a^2} + a^2 \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| \right) + C$ を用いると
$$\begin{aligned} \int \sqrt{x^2 + 1} dx - \int x dx &= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) - \frac{1}{2}x^2 + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\frac{1}{2} \left( x\sqrt{x^2 + 1} - x^2 + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{(x + 8) \sqrt[3]{x}}$$
$\sqrt[3]{x} = u$ とおくと，$x = u^3$ より $dx = 3u^2 du$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{3u^2}{(u^3 + 8)u} du &= \int \frac{3u}{u^3 + 8} du \\ &= \int \frac{3u}{(u + 2)(u^2 - 2u + 4)} du \end{aligned}$$
部分分数分解を行う．
$$\frac{3u}{(u + 2)(u^2 - 2u + 4)} = \frac{A}{u + 2} + \frac{Bu + C}{u^2 - 2u + 4}$$
とおいて解くと，$A = -\frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}, C = 1$ を得る．
$$\begin{aligned} \int \left( -\frac{1}{2(u + 2)} + \frac{\frac{1}{2}u + 1}{u^2 - 2u + 4} \right) du &= -\frac{1}{2} \ln|u + 2| + \frac{1}{4} \int \frac{2u - 2 + 6}{u^2 - 2u + 4} du \\ &= -\frac{1}{2} \ln|u + 2| + \frac{1}{4} \ln(u^2 - 2u + 4) + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(u - 1)^2 + 3} du \\ &= -\frac{1}{2} \ln|u + 2| + \frac{1}{4} \ln(u^2 - 2u + 4) + \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan \left( \frac{u - 1}{\sqrt{3}} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\frac{1}{2} \ln|\sqrt[3]{x} + 2| + \frac{1}{4} \ln(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 4) + \frac{\sqrt{3}}{2} \arctan \left( \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{3}} \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{x^2 \sqrt{1 - x}}$$
$\sqrt{1 - x} = u$ とおくと，$x = 1 - u^2$ より $dx = -2u du$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{-2u}{(1 - u^2)^2 u} du &= -2 \int \frac{1}{(1 - u^2)^2} du \\ &= -2 \int \frac{1}{(1 - u)^2 (1 + u)^2} du \end{aligned}$$
部分分数分解を用いると
$$\frac{1}{(1 - u)^2 (1 + u)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(1 - u)^2} + \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u} + \frac{1}{(1 + u)^2} \right)$$
これを積分すると
$$\begin{aligned} -2 \cdot \frac{1}{4} \left( \frac{1}{1 - u} - \ln|1 - u| + \ln|1 + u| - \frac{1}{1 + u} \right) + C &= -\frac{1}{2} \left( \frac{2u}{1 - u^2} + \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| \right) + C \\ &= -\frac{u}{1 - u^2} - \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + C \end{aligned}$$
$u = \sqrt{1 - x}$ を代入すると，$1 - u^2 = x$ より
$$\boxed{-\frac{\sqrt{1 - x}}{x} - \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + \sqrt{1 - x}}{1 - \sqrt{1 - x}} \right| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$$
$x > 1$ と仮定する．$\sqrt{\frac{x - 1}{x}} = u$ とおくと，$\frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x} = u^2$ より $\frac{1}{x} = 1 - u^2$，すなわち $x = \frac{1}{1 - u^2}$ である．
$dx = \frac{2u}{(1 - u^2)^2} du$ より
$$\begin{aligned} \int u \cdot \frac{2u}{(1 - u^2)^2} du &= \int \frac{2u^2}{(1 - u^2)^2} du \\ &= \int \left( \frac{2u^2 - 2 + 2}{(1 - u^2)^2} \right) du \\ &= \int \left( -\frac{2}{1 - u^2} + \frac{2}{(1 - u^2)^2} \right) du \end{aligned}$$
問題(10)の積分結果を利用すると
$$\begin{aligned} -\ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + \frac{u}{1 - u^2} + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + C &= \frac{u}{1 - u^2} - \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| + C \end{aligned}$$
$x = \frac{1}{1 - u^2}$ および $u = \sqrt{1 - \frac{1}{x}}$ を代入して整理すると
$$\boxed{\sqrt{x^2 - x} - \ln \left( \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\sqrt{\frac{x + a}{a - x}}$$
分子・分母に $\sqrt{x + a}$ をかけると（$a > x > -a$ とする）
$$\sqrt{\frac{x + a}{a - x}} = \frac{x + a}{\sqrt{(a - x)(x + a)}} = \frac{x + a}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$
よって
$$\begin{aligned} \int \frac{x + a}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx &= \int \frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx + a \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx \\ &= -\sqrt{a^2 - x^2} + a \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C \end{aligned}$$
$$\boxed{-\sqrt{a^2 - x^2} + a \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\sqrt{\frac{x + a}{x - a}}$$
分子・分母に $\sqrt{x + a}$ をかけると（$x > a > 0$ とする）
$$\sqrt{\frac{x + a}{x - a}} = \frac{x + a}{\sqrt{x^2 - a^2}}$$
よって
$$\begin{aligned} \int \frac{x + a}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx &= \int \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx + a \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx \\ &= \sqrt{x^2 - a^2} + a \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\sqrt{x^2 - a^2} + a \ln \left| x + \sqrt{x^2 - a^2} \right| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{x}{\sqrt{x^2 + bx + c}}$$
分子を $\frac{1}{2}(2x + b) - \frac{b}{2}$ と変形する．
$$\begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + bx + c}} dx &= \frac{1}{2} \int \frac{2x + b}{\sqrt{x^2 + bx + c}} dx - \frac{b}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + bx + c}} dx \\ &= \sqrt{x^2 + bx + c} - \frac{b}{2} \int \frac{1}{\sqrt{(x + \frac{b}{2})^2 + (c - \frac{b^2}{4})}} dx \\ &= \sqrt{x^2 + bx + c} - \frac{b}{2} \ln \left| x + \frac{b}{2} + \sqrt{x^2 + bx + c} \right| + C \end{aligned}$$
$$\boxed{\sqrt{x^2 + bx + c} - \frac{b}{2} \ln \left| x + \frac{b}{2} + \sqrt{x^2 + bx + c} \right| + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{x \sqrt{x^2 + 3x - 1}}$$
$x = \frac{1}{t}$ とおくと，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{\frac{1}{t^2} + \frac{3}{t} - 1}} \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt &= -\int \frac{1}{t \cdot \frac{\sqrt{1 + 3t - t^2}}{t}} dt \\ &= -\int \frac{1}{\sqrt{1 + 3t - t^2}} dt \\ &= -\int \frac{1}{\sqrt{\frac{13}{4} - (t - \frac{3}{2})^2}} dt \\ &= -\arcsin \left( \frac{t - 3/2}{\sqrt{13}/2} \right) + C \\ &= -\arcsin \left( \frac{2t - 3}{\sqrt{13}} \right) + C \end{aligned}$$
$t = \frac{1}{x}$ を戻すと
$$\boxed{-\arcsin \left( \frac{2 - 3x}{\sqrt{13}x} \right) + C}$$
次の関数の不定積分を求めよ．
$$\frac{1}{x \sqrt{x^2 + 2x + 3}}$$
$x = \frac{1}{t}$ とおくと，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ である．
$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\frac{1}{t} \sqrt{\frac{1}{t^2} + \frac{2}{t} + 3}} \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt &= -\int \frac{1}{\sqrt{1 + 2t + 3t^2}} dt \\ &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{t^2 + \frac{2}{3}t + \frac{1}{3}}} dt \\ &= -\frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left| t + \frac{1}{3} + \sqrt{t^2 + \frac{2}{3}t + \frac{1}{3}} \right| + C \end{aligned}$$
$t = \frac{1}{x}$ を代入し，整理すると
$$\boxed{-\frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left| \frac{x + 3 + \sqrt{3x^2 + 2x + 1}}{3x} \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ。
問題(1)
次の不定積分を求めよ。
$$\int \frac{dx}{\cos x - \sin x} dx$$
三角関数の合成公式を用いると、分母は次のように変形できる。
$$\cos x - \sin x = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x \right) = \sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$
これを与えられた不定積分に代入する。
$$\int \frac{dx}{\cos x - \sin x} = \int \frac{dx}{\sqrt{2} \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$$
ここで、
$$u = x + \frac{\pi}{4}$$
とおくと、$du = dx$ である。また、セカント関数の積分公式
$$\int \frac{du}{\cos u} = \ln \left| \tan\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right| + C$$
を利用すると、計算過程は以下のようになる。
$$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{du}{\cos u} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right| + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left(\frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right| + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}\right) \right| + C \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) \right| + C \end{aligned}$$
ただし、$C$ は積分定数である。
$$\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \tan\left(\frac{x}{2} + \frac{3\pi}{8}\right) \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{1 + \sin x}$$
与えられた式の分母・分子に $1 - \sin x$ をかけると
$$\begin{aligned} \int \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x} dx &= \int \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} dx \\ &= \int (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx \end{aligned}$$
となる。これを積分すると
$$\tan x - \frac{1}{\cos x} + C$$
（ただし $C$ は積分定数）を得る。
$$\boxed{\tan x - \sec x + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx$$
$t = \tan(x/2)$ と置換すると
$$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt, \quad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$
より
$$\begin{aligned} \int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} dx &= \int \frac{1 + \frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2} (1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2})} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \\ &= \int \frac{\frac{t^2 + 2t + 1}{1 + t^2}}{\frac{2t}{1 + t^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \\ &= \int \frac{(t + 1)^2}{2t} dt \\ &= \int \left( \frac{t}{2} + 1 + \frac{1}{2t} \right) dt \\ &= \frac{t^2}{4} + t + \frac{1}{2} \ln |t| + C \end{aligned}$$
となる。 $t = \tan(x/2)$ を代入して
$$\boxed{\frac{1}{4} \tan^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{a + \cos x}$$
$|a| > 1$ の場合を考える。 $t = \tan(x/2)$ と置換すると
$$\begin{aligned} \int \frac{dx}{a + \cos x} &= \int \frac{1}{a + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \\ &= \int \frac{2}{a(1 + t^2) + 1 - t^2} dt \\ &= \int \frac{2}{(a - 1)t^2 + (a + 1)} dt \end{aligned}$$
$a > 1$ のとき
$$\begin{aligned} \frac{2}{a - 1} \int \frac{dt}{t^2 + \frac{a + 1}{a - 1}} &= \frac{2}{a - 1} \cdot \sqrt{\frac{a - 1}{a + 1}} \arctan \left( \sqrt{\frac{a - 1}{a + 1}} t \right) + C \\ &= \frac{2}{\sqrt{a^2 - 1}} \arctan \left( \sqrt{\frac{a - 1}{a + 1}} \tan \frac{x}{2} \right) + C \end{aligned}$$
となる。
$$\boxed{\frac{2}{\sqrt{a^2 - 1}} \arctan \left( \sqrt{\frac{a - 1}{a + 1}} \tan \frac{x}{2} \right) + C \quad (a^2 > 1)}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x} \quad (0 < b < a)$$
分母・分子を $\cos^2 x$ で割ると
$$\int \frac{\sec^2 x}{a^2 + b^2 \tan^2 x} dx$$
となる。 $u = \tan x$ と置換すると $du = \sec^2 x dx$ より
$$\begin{aligned} \int \frac{du}{a^2 + b^2 u^2} &= \frac{1}{b^2} \int \frac{du}{u^2 + (\frac{a}{b})^2} \\ &= \frac{1}{b^2} \cdot \frac{b}{a} \arctan \left( \frac{bu}{a} \right) + C \\ &= \frac{1}{ab} \arctan \left( \frac{b \tan x}{a} \right) + C \end{aligned}$$
となる。
$$\boxed{\frac{1}{ab} \arctan \left( \frac{b \tan x}{a} \right) + C}$$
$$\int \cos^4 x dx$$
半角の公式を用いて次数を下げると
$$\begin{aligned} \cos^4 x &= \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^2 \\ &= \frac{1}{4} (1 + 2 \cos 2x + \cos^2 2x) \\ &= \frac{1}{4} \left( 1 + 2 \cos 2x + \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) \\ &= \frac{1}{8} (3 + 4 \cos 2x + \cos 4x) \end{aligned}$$
となる。これを積分すると
$$\begin{aligned} \int \cos^4 x dx &= \frac{1}{8} \int (3 + 4 \cos 2x + \cos 4x) dx \\ &= \frac{1}{8} \left( 3x + 2 \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 4x \right) + C \end{aligned}$$
となる。
$$\boxed{\frac{3}{8}x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} dx$$
部分積分法を用いて計算する。
$$\int \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$$
において、 $u = \sin x, v' = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$ とおくと
$$u' = \cos x, \quad v = \frac{1}{2} \tan^2 x$$
となる。
$$\begin{aligned} \int \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} dx &= \frac{1}{2} \sin x \tan^2 x - \int \frac{1}{2} \cos x \tan^2 x dx \\ &= \frac{1}{2} \sin x \tan^2 x - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^2 x}{\cos x} dx \\ &= \frac{1}{2} \sin x \tan^2 x - \frac{1}{2} \int (\sec x - \cos x) dx \\ &= \frac{1}{2} \sin x \tan^2 x - \frac{1}{2} \ln | \sec x + \tan x | + \frac{1}{2} \sin x + C \end{aligned}$$
ここで $\frac{1}{2} \sin x (\tan^2 x + 1) = \frac{\sin x}{2 \cos^2 x}$ なので、整理すると
$$\boxed{\frac{\sin x}{2 \cos^2 x} - \frac{1}{2} \ln | \sec x + \tan x | + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{dx}{2 \cos^2 x - \sin^2 x}$$
分母・分子を $\cos^2 x$ で割ると
$$\int \frac{\sec^2 x}{2 - \tan^2 x} dx$$
となる。 $u = \tan x$ と置換すると $du = \sec^2 x dx$ より
$$\begin{aligned} \int \frac{du}{2 - u^2} &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \left( \frac{1}{\sqrt{2} - u} + \frac{1}{\sqrt{2} + u} \right) du \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} ( - \ln | \sqrt{2} - u | + \ln | \sqrt{2} + u | ) + C \\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2} + \tan x}{\sqrt{2} - \tan x} \right| + C \end{aligned}$$
となる。
$$\boxed{\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \left| \frac{\sqrt{2} + \tan x}{\sqrt{2} - \tan x} \right| + C}$$
次の不定積分を求めよ.
$$\int \frac{2 - \sin x}{2 + \cos x} dx$$
積分を2つの部分に分ける。
$$\int \frac{2 - \sin x}{2 + \cos x} dx = 2 \int \frac{1}{2 + \cos x} dx - \int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx$$
第1項について、 $t = \tan(x/2)$ と置換すると（問題3の結果において $a=2$ とすると）
$$2 \int \frac{dx}{2 + \cos x} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2} \right) = \frac{4}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2} \right)$$
第2項について、 $v = 2 + \cos x$ とおくと $dv = - \sin x dx$ より
$$- \int \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \int \frac{1}{v} dv = \ln | 2 + \cos x |$$
これらを合わせて
$$\boxed{\frac{4}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{x}{2} \right) + \ln (2 + \cos x) + C}$$