微分係数と導関数

例題4.1

問題 1

次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。

$$ f(x) = \sqrt{x} $$

解答 1

導関数の定義

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

に代入すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \end{aligned} $$

となる。ここで h → 0 とすると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$

したがって

$$ \boxed{f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}} $$

問題 2

次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

解答 2

導関数の定義

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

に代入すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{x(x+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} \end{aligned} $$

となる。ここで h → 0 とすると

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{-1}{x \cdot x} \\ &= -\frac{1}{x^2} \end{aligned} $$

したがって

$$ \boxed{f'(x) = -\frac{1}{x^2}} $$

問題4.1

問題 1

(1)次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$

解答 1

導関数の定義
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
に
$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $$
を代入すると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}} \end{aligned} $$
分子を有理化するために、分子と分母に
$$ \sqrt{x} + \sqrt{x+h} $$
を掛けると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x+h})(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{x - (x+h)}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x+h}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} \end{aligned} $$
h→0 とすると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x})} \\ &= \frac{-1}{x(2\sqrt{x})} \\ &= -\frac{1}{2x\sqrt{x}} \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}} $$

問題 2

(2)次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。
$$ f(x) = \frac{1}{x^2} $$

解答 2

導関数の定義にしたがって計算する。
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{x^2(x+h)^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h x^2(x+h)^2} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2(x+h)^2} \end{aligned} $$
h→0 とすると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{-2x}{x^2 \cdot x^2} \\ &= -\frac{2x}{x^4} \\ &= -\frac{2}{x^3} \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = -\frac{2}{x^3}} $$

問題 3

(3)次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。
$$ f(x) = \sin x $$

解答 3

導関数の定義にしたがって計算する。
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} $$
加法定理
$$ \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h $$
を用いると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} - \sin x \cdot \frac{1 - \cos h}{h} \right) \end{aligned} $$
ここで
$$ \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 $$
および
$$ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(1 - \cos h)(1 + \cos h)}{h(1 + \cos h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h(1 + \cos h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{1 + \cos h} \right) \\ &= 1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0 \end{aligned} $$
であるから
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \cos x \cdot 1 - \sin x \cdot 0 \\ &= \cos x \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = \cos x} $$

問題 4

(4)次の関数の導関数を定義にしたがって計算せよ。
$$ f(x) = \log x $$

解答 4

自然対数
$$ f(x) = \ln x $$
の導関数を定義にしたがって計算する。
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln \left( \frac{x+h}{x} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln \left( 1 + \frac{h}{x} \right) \end{aligned} $$
ここで
$$ \frac{h}{x} = t $$
とおくと、h→0 のとき t→0 であり、h = xt である。
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{t \to 0} \frac{1}{xt} \ln(1 + t) \\ &= \lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + t)^{\frac{1}{t}} \end{aligned} $$
ネイピア数の定義
$$ \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e $$
を用いると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x} \ln e \\ &= \frac{1}{x} \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = \frac{1}{x}} $$

例題4.2

問題 1

次の関数の導関数を計算せよ．

$$ (1) \quad \left( \frac{x - 1}{x^2 + 1} \right)^3 $$

解答 1

合成関数の微分法を用いる．

$$ u = \frac{x - 1}{x^2 + 1} $$

とおくと，与えられた関数は

$$ y = u^3 $$

と書ける．導関数は

$$ y' = 3u^2 \cdot u' $$

である．ここで商の微分法より

$$ \begin{aligned} u' &= \frac{(x - 1)'(x^2 + 1) - (x - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - (x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} \end{aligned} $$

となる．したがって

$$ \begin{aligned} y' &= 3 \left( \frac{x - 1}{x^2 + 1} \right)^2 \cdot \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2} \\ &= \frac{3(x - 1)^2 (-x^2 + 2x + 1)}{(x^2 + 1)^4} \end{aligned} $$

$$ \boxed{y' = \frac{3(x - 1)^2 (-x^2 + 2x + 1)}{(x^2 + 1)^4}} $$

問題 2

次の関数の導関数を計算せよ．

$$ (2) \quad \tan^{-1} \frac{a \tan \frac{x}{2} + b}{\sqrt{a^2 - b^2}} $$

解答 2

$$ u = \frac{a \tan \frac{x}{2} + b}{\sqrt{a^2 - b^2}} $$

とおくと，

$$ y = \tan^{-1} u $$

であり，導関数は

$$ y' = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} $$

となる．まず

$$ \frac{du}{dx} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - b^2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2\sqrt{a^2 - b^2} \cos^2 \frac{x}{2}} $$

である．次に

$$ \begin{aligned} 1 + u^2 &= 1 + \frac{(a \tan \frac{x}{2} + b)^2}{a^2 - b^2} \\ &= \frac{a^2 - b^2 + a^2 \tan^2 \frac{x}{2} + 2ab \tan \frac{x}{2} + b^2}{a^2 - b^2} \\ &= \frac{a^2 (1 + \tan^2 \frac{x}{2}) + 2ab \tan \frac{x}{2}}{a^2 - b^2} \\ &= \frac{a^2 \sec^2 \frac{x}{2} + 2ab \tan \frac{x}{2}}{a^2 - b^2} \end{aligned} $$

これらを代入すると

$$ \begin{aligned} y' &= \frac{a^2 - b^2}{a^2 \sec^2 \frac{x}{2} + 2ab \tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{a}{2\sqrt{a^2 - b^2} \cos^2 \frac{x}{2}} \\ &= \frac{a \sqrt{a^2 - b^2}}{2 (a^2 \sec^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} + 2ab \tan \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2})} \\ &= \frac{a \sqrt{a^2 - b^2}}{2 (a^2 + 2ab \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})} \\ &= \frac{a \sqrt{a^2 - b^2}}{2 (a^2 + ab \sin x)} \end{aligned} $$

分母の共通因数 a で割ると

$$ \boxed{y' = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{2(a + b \sin x)}} $$

問題 3

次の関数の導関数を計算せよ．

$$ (3) \quad \frac{(\alpha x + \beta)\sqrt{\gamma x + \delta}}{\sqrt{ax^2 + 2bx + c}} $$

解答 3

対数微分法を用いる．両辺の絶対値の自然対数をとると

$$ \ln |y| = \ln |\alpha x + \beta| + \frac{1}{2} \ln |\gamma x + \delta| - \frac{1}{2} \ln |ax^2 + 2bx + c| $$

両辺を x で微分すると

$$ \begin{aligned} \frac{y'}{y} &= \frac{(\alpha x + \beta)'}{\alpha x + \beta} + \frac{1}{2} \frac{(\gamma x + \delta)'}{\gamma x + \delta} - \frac{1}{2} \frac{(ax^2 + 2bx + c)'}{ax^2 + 2bx + c} \\ &= \frac{\alpha}{\alpha x + \beta} + \frac{\gamma}{2(\gamma x + \delta)} - \frac{2ax + 2b}{2(ax^2 + 2bx + c)} \\ &= \frac{\alpha}{\alpha x + \beta} + \frac{\gamma}{2(\gamma x + \delta)} - \frac{ax + b}{ax^2 + 2bx + c} \end{aligned} $$

したがって，求める導関数は

$$ \begin{aligned} y' &= y \left( \frac{\alpha}{\alpha x + \beta} + \frac{\gamma}{2(\gamma x + \delta)} - \frac{ax + b}{ax^2 + 2bx + c} \right) \\ &= \frac{(\alpha x + \beta)\sqrt{\gamma x + \delta}}{\sqrt{ax^2 + 2bx + c}} \left( \frac{\alpha}{\alpha x + \beta} + \frac{\gamma}{2(\gamma x + \delta)} - \frac{ax + b}{ax^2 + 2bx + c} \right) \end{aligned} $$

$$ \boxed{y' = \frac{(\alpha x + \beta)\sqrt{\gamma x + \delta}}{\sqrt{ax^2 + 2bx + c}} \left( \frac{\alpha}{\alpha x + \beta} + \frac{\gamma}{2(\gamma x + \delta)} - \frac{ax + b}{ax^2 + 2bx + c} \right)} $$

問題 4.2

問題 1

(1)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = 12x^5 + 15x^4 + 20x^3 $$

解答 1

与えられた関数を項ごとに微分する．
$$ \begin{aligned} f'(x) &= 12 \cdot 5x^4 + 15 \cdot 4x^3 + 20 \cdot 3x^2 \\ &= 60x^4 + 60x^3 + 60x^2 \end{aligned} $$
共通因数を括り出す．
$$ \boxed{f'(x) = 60x^2(x^2 + x + 1)} $$

問題 2

(2)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = (x^2 + x + 1)^{10} $$

解答 2

合成関数の微分法を用いる．
$$ u = x^2 + x + 1 $$
とおくと
$$ f(x) = u^{10} $$
であり，導関数は次のように計算される．
$$ \begin{aligned} f'(x) &= 10u^9 \cdot u' \\ &= 10(x^2 + x + 1)^9 \cdot (x^2 + x + 1)' \\ &= 10(x^2 + x + 1)^9(2x + 1) \end{aligned} $$
したがって，結論は次の通りである．
$$ \boxed{f'(x) = 10(2x + 1)(x^2 + x + 1)^9} $$

問題 3

(3)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x}} $$

解答 3

合成関数の微分法を用いる．
$$ f(x) = (x + 2x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} $$
導関数を計算する．
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}(x + 2\sqrt{x})^{-\frac{1}{2}} \cdot (x + 2\sqrt{x})' \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \cdot \left( 1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \end{aligned} $$
分母をまとめると次のようになる．
$$ \boxed{f'(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}} $$

問題 4

(4)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} $$

解答 4

問題 (3) の結果を利用する．
$$ g(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x}} $$
とおくと，
$$ f(x) = \sqrt{x + 2g(x)} $$
となる．導関数は
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2g(x)}} \cdot (x + 2g(x))' \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}} \cdot (1 + 2g'(x)) \end{aligned} $$
ここで問題 (3) より
$$ g'(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} $$
であるから，
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}} \left( 1 + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}} \cdot \frac{\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}} + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}} \end{aligned} $$
整理すると
$$ \boxed{f'(x) = \frac{\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}} + \sqrt{x} + 1}{2\sqrt{x}\sqrt{x + 2\sqrt{x}}\sqrt{x + 2\sqrt{x + 2\sqrt{x}}}}} $$

問題 5

(5)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \frac{(x+1)^2}{(x-2)^3(x+3)^4} $$

解答 5

対数微分法を用いる．両辺の絶対値の自然対数をとると
$$ \ln |f(x)| = 2\ln |x+1| - 3\ln |x-2| - 4\ln |x+3| $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-2} - \frac{4}{x+3} \\ &= \frac{2(x-2)(x+3) - 3(x+1)(x+3) - 4(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \\ &= \frac{2(x^2 + x - 6) - 3(x^2 + 4x + 3) - 4(x^2 - x - 2)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \\ &= \frac{2x^2 + 2x - 12 - 3x^2 - 12x - 9 - 4x^2 + 4x + 8}{(x+1)(x-2)(x+3)} \\ &= \frac{-5x^2 - 6x - 13}{(x+1)(x-2)(x+3)} \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= f(x) \cdot \frac{-(5x^2 + 6x + 13)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \\ &= \frac{(x+1)^2}{(x-2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{-(5x^2 + 6x + 13)}{(x+1)(x-2)(x+3)} \end{aligned} $$
整理して
$$ \boxed{f'(x) = - \frac{(x+1)(5x^2 + 6x + 13)}{(x-2)^4(x+3)^5}} $$

問題 6

(6)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^2 + 1}{(x-1)^3}} $$

解答 6

関数を変形すると
$$ f(x) = \frac{(x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{x-1} $$
対数微分法を用いる．
$$ \ln |f(x)| = \frac{1}{3}\ln(x^2 + 1) - \ln |x-1| $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac{1}{x-1} \\ &= \frac{2x(x-1) - 3(x^2 + 1)}{3(x^2 + 1)(x-1)} \\ &= \frac{2x^2 - 2x - 3x^2 - 3}{3(x^2 + 1)(x-1)} \\ &= \frac{-x^2 - 2x - 3}{3(x^2 + 1)(x-1)} \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{(x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{x-1} \cdot \frac{-(x^2 + 2x + 3)}{3(x^2 + 1)(x-1)} \\ &= \frac{-(x^2 + 2x + 3)}{3(x-1)^2(x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} \end{aligned} $$
累乗根の形で書くと
$$ \boxed{f'(x) = - \frac{x^2 + 2x + 3}{3(x-1)^2 \sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}} $$

問題 7

(7)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} $$

解答 7

対数微分法を用いる．
$$ \ln |f(x)| = \frac{1}{2} \left( \ln |1 - \sqrt{x}| - \ln |1 + \sqrt{x}| \right) $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= \frac{1}{2} \left( \frac{- \frac{1}{2\sqrt{x}}}{1 - \sqrt{x}} - \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1 + \sqrt{x}} \right) \\ &= -\frac{1}{4\sqrt{x}} \left( \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \right) \\ &= -\frac{1}{4\sqrt{x}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{x}) + (1 - \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} \\ &= -\frac{1}{4\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{1 - x} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{x}(1 - x)} \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} \cdot \left( - \frac{1}{2\sqrt{x}(1 - x)} \right) \\ &= - \frac{\sqrt{1 - \sqrt{x}}}{2\sqrt{x}(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})\sqrt{1 + \sqrt{x}}} \\ &= - \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - \sqrt{x}}(1 + \sqrt{x})\sqrt{1 + \sqrt{x}}} \end{aligned} $$
分母を整理すると
$$ \boxed{f'(x) = - \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})\sqrt{1 - x}}} $$

問題 8

(8)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2} + \sqrt{a^2 - x^2}}{\sqrt{a^2 + x^2} - \sqrt{a^2 - x^2}} $$

解答 8

まず，分母を有理化して関数を簡略化する．
$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{(\sqrt{a^2 + x^2} + \sqrt{a^2 - x^2})^2}{(a^2 + x^2) - (a^2 - x^2)} \\ &= \frac{(a^2 + x^2) + (a^2 - x^2) + 2\sqrt{(a^2 + x^2)(a^2 - x^2)}}{2x^2} \\ &= \frac{2a^2 + 2\sqrt{a^4 - x^4}}{2x^2} \\ &= \frac{a^2 + \sqrt{a^4 - x^4}}{x^2} \\ &= a^2 x^{-2} + x^{-2}(a^4 - x^4)^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$
これを x で微分する．
$$ \begin{aligned} f'(x) &= -2a^2 x^{-3} - 2x^{-3}(a^4 - x^4)^{\frac{1}{2}} + x^{-2} \cdot \frac{1}{2}(a^4 - x^4)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-4x^3) \\ &= - \frac{2a^2}{x^3} - \frac{2\sqrt{a^4 - x^4}}{x^3} - \frac{2x}{\sqrt{a^4 - x^4}} \\ &= \frac{-2a^2 \sqrt{a^4 - x^4} - 2(a^4 - x^4) - 2x^4}{x^3 \sqrt{a^4 - x^4}} \\ &= \frac{-2a^2 \sqrt{a^4 - x^4} - 2a^4 + 2x^4 - 2x^4}{x^3 \sqrt{a^4 - x^4}} \\ &= \frac{-2a^2 (\sqrt{a^4 - x^4} + a^2)}{x^3 \sqrt{a^4 - x^4}} \end{aligned} $$
したがって，結論は次の通りである．
$$ \boxed{f'(x) = - \frac{2a^2 (a^2 + \sqrt{a^4 - x^4})}{x^3 \sqrt{a^4 - x^4}}} $$

問題 4.3 次の関数の導関数を求めよ。

問題 1

次の関数の導関数を求めよ。
$$ f(x) = \sin^3(\sqrt{x} + 4) $$

解答 1

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = \sin(\sqrt{x} + 4) $$
とおくと、関数は以下のようになる。
$$ f(x) = u^3 $$
これを微分すると、
$$ \begin{aligned} f'(x) &= 3u^2 \cdot \frac{du}{dx} \\ &= 3 \sin^2(\sqrt{x} + 4) \cdot \frac{d}{dx} \sin(\sqrt{x} + 4) \end{aligned} $$
さらに、
$$ v = \sqrt{x} + 4 $$
とおいて鎖法（チェインルール）を適用すると、
$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} \sin(v) &= \cos(v) \cdot \frac{dv}{dx} \\ &= \cos(\sqrt{x} + 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$
よって、
$$ \begin{aligned} f'(x) &= 3 \sin^2(\sqrt{x} + 4) \cos(\sqrt{x} + 4) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3 \sin^2(\sqrt{x} + 4) \cos(\sqrt{x} + 4)}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = \frac{3 \sin^2(\sqrt{x} + 4) \cos(\sqrt{x} + 4)}{2\sqrt{x}}} $$

問題 2

次の関数の導関数を求めよ。
$$ f(x) = \cos \frac{1}{x} $$

解答 2

$$ u = \frac{1}{x} $$
とおくと、
$$ f(x) = \cos u $$
である。合成関数の微分法により、
$$ \begin{aligned} f'(x) &= -\sin u \cdot \frac{du}{dx} \\ &= -\sin \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{-1} \right) \\ &= -\sin \left( \frac{1}{x} \right) \cdot ( -x^{-2} ) \\ &= \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x}} $$

問題 3

次の関数の導関数を求めよ。
$$ f(\theta) = \sin(\tan(\sin(\theta))) $$

解答 3

外側の関数から順に微分を適用する（チェインルール）。
$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= \cos(\tan(\sin \theta)) \cdot \frac{d}{d\theta} \tan(\sin \theta) \\ &= \cos(\tan(\sin \theta)) \cdot \frac{1}{\cos^2(\sin \theta)} \cdot \frac{d}{d\theta} \sin \theta \\ &= \cos(\tan(\sin \theta)) \cdot \frac{1}{\cos^2(\sin \theta)} \cdot \cos \theta \end{aligned} $$
整理すると、以下のようになる。
$$ \boxed{f'(\theta) = \frac{\cos \theta \cos(\tan(\sin \theta))}{\cos^2(\sin \theta)}} $$

問題 4

次の関数の導関数を求めよ。
$$ f(\theta) = \frac{1}{1 + \tan \theta} $$

解答 4

商の微分法（または合成関数の微分法）を用いる。
$$ f'(\theta) = - \frac{(1 + \tan \theta)'}{(1 + \tan \theta)^2} $$
ここで、
$$ (1 + \tan \theta)' = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$
であるから、
$$ f'(\theta) = - \frac{1}{\cos^2 \theta (1 + \tan \theta)^2} $$
分母の括弧内を展開するために
$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$
を代入すると、
$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= - \frac{1}{\cos^2 \theta \left( 1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2} \\ &= - \frac{1}{(\cos \theta + \sin \theta)^2} \\ &= - \frac{1}{\cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta} \\ &= - \frac{1}{1 + \sin 2\theta} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(\theta) = - \frac{1}{1 + \sin 2\theta}} $$

問題 5

次の関数の導関数を求めよ。
$$ f(x) = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 + \sin x}} $$

解答 5

$$ y = \frac{1 + \cos x}{1 + \sin x} $$
とおくと、
$$ f(x) = \sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}} $$
である。合成関数の微分法より、
$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot y' $$
まず
$$ y' $$
を商の微分法で計算する。
$$ \begin{aligned} y' &= \frac{(1 + \cos x)'(1 + \sin x) - (1 + \cos x)(1 + \sin x)'}{(1 + \sin x)^2} \\ &= \frac{(-\sin x)(1 + \sin x) - (1 + \cos x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2} \\ &= \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos x - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2} \\ &= \frac{-(\sin x + \cos x) - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2} \\ &= - \frac{1 + \sin x + \cos x}{(1 + \sin x)^2} \end{aligned} $$
これらを元の式に代入する。
$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x}} \cdot \left( - \frac{1 + \sin x + \cos x}{(1 + \sin x)^2} \right) \\ &= - \frac{1 + \sin x + \cos x}{2 \sqrt{1 + \cos x} \sqrt{1 + \sin x} (1 + \sin x)} \\ &= - \frac{1 + \sin x + \cos x}{2 \sqrt{1 + \cos x} (1 + \sin x)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = - \frac{1 + \sin x + \cos x}{2 \sqrt{1 + \cos x} (1 + \sin x)^{\frac{3}{2}}}} $$

問題 4.4 次の関数の導関数を求めよ．

問題 1

(1)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \frac{\tan^{-1} x}{1 + x^2} $$

解答 1

商の微分法を用いる。
$$ f'(x) = \frac{(\tan^{-1} x)'(1 + x^2) - (\tan^{-1} x)(1 + x^2)'}{(1 + x^2)^2} $$
ここで
$$ (\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2} $$
および
$$ (1 + x^2)' = 2x $$
であるから、これらを代入すると以下のようになる。
$$ f'(x) = \frac{\frac{1}{1 + x^2}(1 + x^2) - (\tan^{-1} x)(2x)}{(1 + x^2)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{1 - 2x \tan^{-1} x}{(1 + x^2)^2} $$
$$ \boxed{f'(x) = \frac{1 - 2x \tan^{-1} x}{(1 + x^2)^2}} $$

問題 2

(2)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = (\sin^{-1} x)^2 $$

解答 2

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = \sin^{-1} x $$
とおくと
$$ f(x) = u^2 $$
である。
$$ f'(x) = \frac{d}{du}(u^2) \cdot \frac{du}{dx} $$
$$ f'(x) = 2u \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $$
$$ u = \sin^{-1} x $$
を元に戻すと
$$ f'(x) = \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}} $$
$$ \boxed{f'(x) = \frac{2 \sin^{-1} x}{\sqrt{1 - x^2}}} $$

問題 3

(3)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sin^{-1} (x^2) $$

解答 3

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = x^2 $$
とおくと
$$ f(x) = \sin^{-1} u $$
である。
$$ f'(x) = \frac{d}{du}(\sin^{-1} u) \cdot \frac{du}{dx} $$
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot 2x $$
$$ u = x^2 $$
を代入すると
$$ f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - (x^2)^2}} $$
$$ \boxed{f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}} $$

問題 4

(4)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \tan^{-1} \sqrt{1 - x} $$

解答 4

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = \sqrt{1 - x} $$
とおくと
$$ f(x) = \tan^{-1} u $$
である。
$$ \frac{df}{du} = \frac{1}{1 + u^2} = \frac{1}{1 + (1 - x)} = \frac{1}{2 - x} $$
また
$$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}} $$
したがって
$$ f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
$$ f'(x) = \frac{1}{2 - x} \cdot \left( -\frac{1}{2\sqrt{1 - x}} \right) $$
$$ \boxed{f'(x) = -\frac{1}{2(2 - x)\sqrt{1 - x}}} $$

問題 5

(5)次の関数の導関数を求めよ．
$$ \sinh(x^2) $$

解答 5

$$ f(x) = \sinh(x^2) $$
とおき、合成関数の微分法を用いる。
$$ u = x^2 $$
とおくと
$$ f(x) = \sinh u $$
である。
$$ f'(x) = \frac{d}{du}(\sinh u) \cdot \frac{du}{dx} $$
$$ f'(x) = \cosh u \cdot 2x $$
$$ u = x^2 $$
を元に戻すと
$$ f'(x) = 2x \cosh(x^2) $$
$$ \boxed{f'(x) = 2x \cosh(x^2)} $$

問題 6

(6)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = \sinh x \cosh x $$

解答 6

積の微分法を用いる。
$$ f'(x) = (\sinh x)' \cosh x + \sinh x (\cosh x)' $$
ここで
$$ (\sinh x)' = \cosh x $$
$$ (\cosh x)' = \sinh x $$
であるから
$$ f'(x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$
双曲線関数の加法定理
$$ \cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x $$
を用いると、より簡潔に表すことができる。
$$ \boxed{f'(x) = \cosh(2x)} $$
（または、最初に倍角の公式を用いて
$$ f(x) = \frac{1}{2} \sinh(2x) $$
としてから微分しても同様の結果が得られる）

問題 4.5 次の関数の導関数を求めよ．

問題 1

(1)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = x^{\sqrt{x}} $$

解答 1

対数微分法を用いる。
両辺の自然対数をとると
$$ \ln f(x) = \sqrt{x} \ln x $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ &= \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= f(x) \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \\ &= x^{\sqrt{x}} \cdot \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} x^{\sqrt{x}}} $$

問題 2

(2)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = (\sin x)^{\cos x} $$

解答 2

対数微分法を用いる。
両辺の自然対数をとると
$$ \ln f(x) = \cos x \ln (\sin x) $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= (\cos x)' \ln (\sin x) + \cos x (\ln (\sin x))' \\ &= -\sin x \ln (\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= f(x) \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right) \\ &= (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right) \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right)} $$

問題 3

(3)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = ((\sin x)^{\cos x})^{\sin x} $$

解答 3

指数法則を用いて関数を整理する。
$$ f(x) = (\sin x)^{\cos x \cdot \sin x} $$
両辺の自然対数をとると
$$ \ln f(x) = \sin x \cos x \ln (\sin x) $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= (\sin x \cos x)' \ln (\sin x) + (\sin x \cos x) (\ln (\sin x))' \\ &= (\cos^2 x - \sin^2 x) \ln (\sin x) + \sin x \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \\ &= \cos(2x) \ln (\sin x) + \cos^2 x \end{aligned} $$
したがって
$$ \begin{aligned} f'(x) &= f(x) \{ \cos(2x) \ln (\sin x) + \cos^2 x \} \\ &= ((\sin x)^{\cos x})^{\sin x} \{ \cos(2x) \ln (\sin x) + \cos^2 x \} \end{aligned} $$
$$ \boxed{f'(x) = ((\sin x)^{\cos x})^{\sin x} \{ \cos(2x) \ln (\sin x) + \cos^2 x \}} $$

問題 4

(4)次の関数の導関数を求めよ．
$$ f(x) = (\cos x)^{(\sin x)^{\cos x}} $$

解答 4

対数微分法を用いる。
$$ g(x) = (\sin x)^{\cos x} $$
とおくと、(2) の結果より
$$ g'(x) = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right) $$
である。
$$ f(x) = (\cos x)^{g(x)} $$
の両辺の自然対数をとると
$$ \ln f(x) = g(x) \ln (\cos x) $$
両辺を x で微分すると
$$ \begin{aligned} \frac{f'(x)}{f(x)} &= g'(x) \ln (\cos x) + g(x) \frac{-\sin x}{\cos x} \\ &= g'(x) \ln (\cos x) - g(x) \tan x \end{aligned} $$
これに g(x) および g'(x) を代入すると
$$ \begin{aligned} f'(x) &= f(x) \{ g'(x) \ln (\cos x) - g(x) \tan x \} \\ &= (\cos x)^{(\sin x)^{\cos x}} \left[ (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right) \ln (\cos x) - (\sin x)^{\cos x} \tan x \right] \end{aligned} $$
共通因数を括りだすと以下のようになる。
$$ \boxed{f'(x) = (\cos x)^{(\sin x)^{\cos x}} (\sin x)^{\cos x} \left\{ \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln (\sin x) \right) \ln (\cos x) - \tan x \right\}} $$

問題 4.6 次の関数の導関数を求めよ．

問題 1

次の関数の導関数を求めよ．

$$ f(x) = e^x \ln x $$

解答 1

積の微分法
$$ \{g(x)h(x)\}' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x) $$
を用いる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' \\ &= e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} \\ &= e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right) \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = e^x \left( \ln x + \frac{1}{x} \right)} $$

問題 2

次の関数の導関数を求めよ．

$$ f(x) = e^{-x^2} $$

解答 2

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = -x^2 $$
とおくと
$$ f(x) = e^u $$
であり

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ &= e^u \cdot (-2x) \\ &= -2x e^{-x^2} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = -2x e^{-x^2}} $$

問題 3

次の関数の導関数を求めよ．

$$ f(x) = x^{\ln x} $$

解答 3

対数微分法を用いる。
$$ y = x^{\ln x} $$
の両辺の自然対数をとると

$$ \begin{aligned} \ln y &= \ln (x^{\ln x}) \\ &= (\ln x) \cdot (\ln x) \\ &= (\ln x)^2 \end{aligned} $$

両辺を x で微分すると

$$ \frac{y'}{y} = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} $$

よって

$$ \begin{aligned} y' &= y \cdot \frac{2 \ln x}{x} \\ &= x^{\ln x} \cdot 2x^{-1} \ln x \\ &= 2x^{\ln x - 1} \ln x \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = 2x^{\ln x - 1} \ln x} $$

問題 4

次の関数の導関数を求めよ．

$$ f(x) = \ln(\ln x) $$

解答 4

合成関数の微分法を用いる。
$$ u = \ln x $$
とおくと
$$ f(x) = \ln u $$
であり

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \\ &= \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{x \ln x} \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = \frac{1}{x \ln x}} $$

問題 5

次の関数の導関数を求めよ．

$$ f(x) = a^{x^2+2x} $$

解答 5

合成関数の微分法および指数関数の微分の公式
$$ (a^u)' = a^u \ln a \cdot u' $$
を用いる。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= a^{x^2+2x} \ln a \cdot (x^2+2x)' \\ &= a^{x^2+2x} \ln a \cdot (2x+2) \\ &= 2(x+1) a^{x^2+2x} \ln a \end{aligned} $$

$$ \boxed{f'(x) = 2(x+1) a^{x^2+2x} \ln a} $$