【カテゴリ：データサイエンス力】
次の行列 $B$ の固有値の組み合わせとして最も適切なものを選べ。
$$B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$
解答：B
行列 $B$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det(B - \lambda I) = 0$ は次のように表されます。
$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \times 1) &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 12 - 2 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 &= 0 \end{aligned} $$
この2次方程式を因数分解すると以下のようになります。
$$(\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0$$
よって、固有値は $\lambda = 2, 5$ となり、正解は B です。
【カテゴリ：データサイエンス力】
正方行列の固有値に関する性質として、行列の対角成分の総和であるトレース（跡）と固有値の合計の関係について述べた次の文の空欄に入る適切な用語を選べ。
「任意の $n$ 次正方行列において、そのすべての固有値の総和は、その行列の（ ）に等しい。」
解答：D
行列のすべての固有値の和は、その行列の対角成分の和である トレース（跡）に一致します。また、すべての固有値の積は、その行列の 行列式 に一致するという性質があります。
【カテゴリ：データサイエンス力】
多変量解析の手法の一つである主成分分析（PCA）において、データの分散共分散行列から固有値を算出する実務上の意義として、最も適切な説明を選べ。
解答：C
主成分分析において、元のデータの分散共分散行列（または相関行列）から得られる固有値は、抽出された各主成分の 分散 そのものを表します。
なお、全固有値の合計に対する各固有値の割合を 寄与率 と呼び、分析の精度評価に利用されます。
【カテゴリ：データサイエンス力】
次の行列 $C$ の固有値の組み合わせとして最も適切なものを選べ。
$$C = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
解答：B
行列 $C$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det(C - \lambda I) = 0$ は次のように求められます。
$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 5 - \lambda & 2 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\ (5 - \lambda)(2 - \lambda) - (2 \times 2) &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 4 &= 0 \\ \lambda^2 - 7\lambda + 6 &= 0 \end{aligned} $$
この2次方程式を因数分解すると以下のようになります。
$$(\lambda - 1)(\lambda - 6) = 0$$
したがって、固有値は $1$ と $6$ となり、正解は B です。
【カテゴリ：データサイエンス力】
行列の固有値とその性質に関する記述として、最も適切なものを選べ。
解答：A
固有値には非常に重要な性質がいくつかあります。
【カテゴリ：データサイエンス力】
データ分析手法の一つである主成分分析（PCA）において、固有値が持つ役割として最も適切な説明を選べ。
解答：C
主成分分析は、高次元のデータを情報の損失を抑えつつ低次元に要約する手法であり、数学的には分散共分散行列の固有値分解を利用します。
【カテゴリ：データサイエンス力】
次の行列 $D$ の固有値の組み合わせとして最も適切なものを選べ。
$$D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$
解答：D
行列 $D$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式 $\det(D - \lambda I) = 0$ は次のように求められます。
$$ \begin{aligned} \det \begin{pmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 2 & 2 - \lambda \end{pmatrix} &= 0 \\ (3 - \lambda)(2 - \lambda) - (1 \times 2) &= 0 \\ \lambda^2 - 5\lambda + 6 - 2 &= 0 \\ \lambda^2 - 5\lambda + 4 &= 0 \end{aligned} $$
この2次方程式を因数分解すると以下のようになります。
$$(\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0$$
したがって、固有値は $1$ と $4$ となり、正解は D です。
【カテゴリ：データサイエンス力】
ある $n$ 次正方行列 $A$ と、0でないベクトル $v$、定数 $\lambda$ において、次の式が成り立つとき、 $\lambda$ を行列 $A$ の固有値、 $v$ を $\lambda$ に関する固有ベクトルと呼びます。空欄に入る式として最も適切なものを選べ。
$$（ ）$$
解答：A
固有値と固有ベクトルの定義に関する基本的な問題です。
【カテゴリ：データサイエンス力】
マーケティングデータの分析において、10個の変数を持つデータセットに対して主成分分析（PCA）を実施しました。このとき、算出された固有値を用いて「何番目の主成分までを採用するか」を検討する実務的な方法として、最も適切な説明を選べ。
解答：B
主成分分析における次元圧縮の判断基準に関する実務的な問いです。